Rationale Funktionen Einführung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 9. Februar 2013, 10:55 Uhr

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Aufgabe

Die Mantelfläche $M$ der Kugelhaube ist $M = 2\pi R l$ wobei $R$ der Erdradius 6370km und $l$ die Länge der Strecke [CD] ist.

Zeige, dass die Mantelfläche $M$ in Abhängigkeit der Höhe h zu $M=\frac{2\pi R^2h}{R+h}$ ergibt

{{Lösung versteckt|1=

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke $\Delta AMS$ und $\Delta AMD$ , welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck $\Delta AMS$ betrachtet man das Streckenverhältnis $\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}$ . Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck $\Delta AMD$ ist $\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}$ .

Also ist $\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}$ .

Formt man um $R-l = \frac{R^2}{R+h}$ und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich $l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}$ .

Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h} }}

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+Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.
+<center>[[Datei:Erde_tangenten.jpg|400px]]</center>
+{{Aufgabe|
+Die Mantelfläche <math>M</math> der Kugelhaube ist <math>M = 2\pi R l</math> wobei <math>R</math> der Erdradius 6370km und <math>l</math> die Länge der Strecke [CD] ist.
+Zeige, dass die Mantelfläche <math>M</math> in Abhängigkeit der Höhe h zu <math>M=\frac{2\pi R^2h}{R+h}</math> ergibt}}
+{{Lösung versteckt|1=
+<center>[[Datei:Erde_tangenten-dreiecke.jpg|400px]]</center>
+In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke <math>\Delta AMS</math> und <math> \Delta AMD</math>, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich:
+Im Dreieck <math>\Delta AMS</math> betrachtet man das Streckenverhältnis <math>\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}</math>. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck <math> \Delta AMD</math> ist <math>\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}</math>.
+Also ist <math>\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}</math>.
+Formt man um <math> R-l = \frac{R^2}{R+h}</math> und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich <math> l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}</math>.
+Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich <math> M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h}
+}}

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