Rationale Funktionen Definitionsmenge: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie <math>0</math> sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine <math>0</math> explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert <math>0</math> annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert <math>0</math> im Nenner führen, ausschließen.
 
Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie <math>0</math> sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine <math>0</math> explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert <math>0</math> annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert <math>0</math> im Nenner führen, ausschließen.
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Die Funktion
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1. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-1</math>. Dieser Term kann für <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> annehmen.
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2. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-2x+1</math>. Dieser Term kann für <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> annehmen.
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3. <math>f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}</math> hat den Nennerterm <math>x^3-x^2-2x</math>. Dieser Term kann für <math> x = -1</math>, <math>x=0</math>  und <math> x = 2</math> den Wert <math>0</math> annehmen.
  
 
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Version vom 23. Februar 2013, 10:27 Uhr

Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie 0 sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine 0 explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert 0 annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert 0 im Nenner führen, ausschließen.

Die Funktion

1. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat den Nennerterm x^2-1. Dieser Term kann für x = -1 und x = 1 den Wert 0 annehmen.

2. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1} hat den Nennerterm x^2-2x+1. Dieser Term kann für x = 1 den Wert 0 annehmen.

3. f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x} hat den Nennerterm x^3-x^2-2x. Dieser Term kann für x = -1, x=0 und x = 2 den Wert 0 annehmen.

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Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für x keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0 ist.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Die Definitionsmenge der gebrochen-rationalen Funktion f mit f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nennerpolynoms h(x).

D = R \ \begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}


Beispiele:

Die Funktion

1. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1} hat, da sich der Nenner x^2-1=(x+1)(x-1) umformen lässt, die Definitionslücken x = -1 und x = 1, also ist D = R\\begin{Bmatrix} -1; & 1 \end{Bmatrix}.

2. f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1} hat, da sich der Nenner x^2-2x+1=(x-1)^2 umformen lässt, die Definitionslücke x = 1, also ist D = R\\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}.

3. f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x} hat, da sich der Nenner x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2) umformen lässt, die Definitionslücken x = -1, x=0 und x = 2, also ist D = R\\begin{Bmatrix} -1; 0; 2 \end{Bmatrix}.


Stift.gif   Aufgabe

Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen f: x \rightarrow f(x) richtig zu!

f(x) = \frac{2x}{x-12} D = R \{12}
f(x) = \frac{2}{2x-6} D = R \{3}
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1} D = R \{-1;1}
f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2} D = R \{1;2}
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-64} D = R \{-8;8}
f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2+64} D = R
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