Rationale Funktionen Definitionsmenge: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Februar 2013, 10:29 Uhr

Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie $0$ sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine $0$ explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert $0$ annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert $0$ im Nenner führen, ausschließen.

Die Funktion

1. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat den Nennerterm $x^2-1$ . Dieser Term nimmt für $x = -1$ und $x = 1$ den Wert $0$ .

2. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}$ hat den Nennerterm $x^2-2x+1$ . Dieser Term nimmt für $x = 1$ den Wert $0$ .

3. $f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}$ hat den Nennerterm $x^3-x^2-2x$ . Dieser Term nimmt für $x = -1$ , $x=0$ und $x = 2$ den Wert $0$ .

Merke

Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für $x$ keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom $h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0$ ist.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Die Definitionsmenge der gebrochen-rationalen Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nennerpolynoms h(x).

$D = R$ \ $\begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}$

Beispiele:

Die Funktion

1. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat, da sich der Nenner $x^2-1=(x+1)(x-1)$ umformen lässt, die Definitionslücken $x = -1$ und $x = 1$ , also ist $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} -1; & 1 \end{Bmatrix}$ .

2. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}$ hat, da sich der Nenner $x^2-2x+1=(x-1)^2$ umformen lässt, die Definitionslücke $x = 1$ , also ist $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}$ .

3. $f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}$ hat, da sich der Nenner $x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)$ umformen lässt, die Definitionslücken $x = -1$ , $x=0$ und $x = 2$ , also ist $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} -1; 0; 2 \end{Bmatrix}$ .

Aufgabe

Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{2x}{x-12}$	D = R \{12}
$f(x) = \frac{2}{2x-6}$	D = R \{3}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}$	D = R \{-1;1}
$f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}$	D = R \{1;2}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-64}$	D = R \{-8;8}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2+64}$	D = R

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 Die Funktion
-. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-1</math>. Dieser Term kann für <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> annehmen.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-1</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math>.
-. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-2x+1</math>. Dieser Term kann für <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> annehmen.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-2x+1</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math>.
-. <math>f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}</math> hat den Nennerterm <math>x^3-x^2-2x</math>. Dieser Term kann für <math> x = -1</math>, <math>x=0</math>  und <math> x = 2</math> den Wert <math>0</math> annehmen.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}</math> hat den Nennerterm <math>x^3-x^2-2x</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = -1</math>, <math>x=0</math>  und <math> x = 2</math> den Wert <math>0</math>.
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