Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken: Unterschied zwischen den Versionen

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Ordne die hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion <math>f:x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!  
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Version vom 6. April 2013, 10:21 Uhr

Die Funktion Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\fra“): f:x\rightarrow \fra{x-1}{x^2+x-2} 

ist an den Nullstellen des Nenners n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1), also für x \not= -2; 1 nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm \frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2} so ist der gekürzte Term \frac{1}{x+2} für x = 1 erklärt mit dem Wert \frac{1}{3}. Man sagt, dass x=1 eine hebbare Definitionslücke ist.
Nuvola apps kig.png   Merke

Ist x_0 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)} und existiert der Grenzwert \lim_{x \to x_0}{f(x)}, so nennt man x_0 eine hebbare Definitionslücke der Funktion f.

Die neue Funktion \tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2} ist für x = 1 mit dem Funktiionswert \tilde f(1) = \frac{1}{3} definiert. Man kann also die Funktion f in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von \tilde f(1)=\frac{1}{3}, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.

  Aufgabe 1  Stift.gif

Gib jeweils für die Funktion f die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von f.

a) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}

b) f mit f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}

c) f mit f(x) = \frac{1}{x+7}

d) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}

e) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}

f) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}

g) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}


a) x = 2 ist eine Definitionslücke; wegen \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2 ist x=2 hebbare Definitionslücke mit \tilde f(2)=4.

b) x = 0; x = 2 sind Definitionslücken; wegen \frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2} ist x=0 hebbare Definitionslücke mit \tilde f(0)=-2.

c) x = -7 ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist x = -7 keine hebbare Definitionslücke.

d) x = 3 ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist x = 3 keine hebbare Definitionslücke.

e) x = -2 ist Definitinoslücke; wegen f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2} ist x=-2 weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.

f) x = 3 ist Definitionslücke; wegen f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2) ist x=3 eine hebbare Definitionslücke mit \tilde f(3)=15.

g) x = 2; x = 3 sind Definitionslücken; wegen \frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+2)}{x-2} eine hebbare Definitionslücke mit \tilde f(3)=15.
  Aufgabe 2  Stift.gif

Ordne die hebbare bzw. nicht hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion f:x \rightarrow f(x) richtig zu!


f(x) = \frac{2x}{x-12} x=12 ist nicht hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x-3}{2x^2-6x} x=3 ist hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-x}{x^2-1} x=1 ist hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2} x=2 ist nicht hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-8x}{x^2-64} x=8 ist hebbare Definitionslücke.
f(x) = \frac{x^2-5x+4}{x^2-7x+12} x=3 ist nicht hebbare Definitionslücke.
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