Eigenschaften von Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math> | + | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math> |
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| + | {{Arbeiten|NUMMER=2| | ||
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| + | Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen | ||
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| + | # <math>x^2</math> in <math>R^-</math> [[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]] | ||
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| + | # <math>sin(x)</math> in [2;3] [[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg]] | ||
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| + | # <math> -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [-3;0] [[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]] | ||
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| + | Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? | ||
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| + | {{Lösung versteckt| | ||
| + | Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.}} | ||
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| + | Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn. | ||
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| + | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math> | ||
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| + | Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''steigend''' und '''fallend'''. | ||
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| + | {{Merke| | ||
| + | Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br> | ||
| + | (d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math> | ||
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| + | Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton fallend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton abnehmend ist, <br> | ||
| + | (d.h. für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math> | ||
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Version vom 30. Dezember 2011, 15:10 Uhr
Monotonie
Aufgabe 1
Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.
Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? |
in 
in [0;1] 
in [0;3] 
Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
 Merke
Eine Funktion |
heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle ![x_1,x_2 \in [a;b]](/images/math/4/8/9/489a4ad3c2410297428c10a130e7cc95.png)
gilt: 
Aufgabe 2
Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? |
Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
| Merke
Eine Funktion |
Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings steigend und fallend.
| Merke
Eine Funktionsgraph Eine Funktionsgraph |
heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion 
