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Der Lernpfad "Funktionen - Einstieg" kann zum Einstieg in das Thema Funktionen in der 5. Klasse AHS (9. Schulstufe) eingesetzt werden. Anhand konkreter Aufgabenstellungen soll mit Hilfe des Einsatzes elektronischer Medien Vorwissen aus der Unterstufe aktiviert und vertieft (verschiedene Darstellungsformen für Funktionen wie Formel, Wertetabelle, Graph) sowie neue Kenntnisse zum Funktionsbegriff (Präzisierung der Funktionsdefinition, Bezeichnungen wie Definitionsmenge, Zielmenge, Argument, Funktionswert,…) erarbeitet und an komplexeren Aufgabenstellungen angewendet werden.
 
Der Lernpfad "Funktionen - Einstieg" kann zum Einstieg in das Thema Funktionen in der 5. Klasse AHS (9. Schulstufe) eingesetzt werden. Anhand konkreter Aufgabenstellungen soll mit Hilfe des Einsatzes elektronischer Medien Vorwissen aus der Unterstufe aktiviert und vertieft (verschiedene Darstellungsformen für Funktionen wie Formel, Wertetabelle, Graph) sowie neue Kenntnisse zum Funktionsbegriff (Präzisierung der Funktionsdefinition, Bezeichnungen wie Definitionsmenge, Zielmenge, Argument, Funktionswert,…) erarbeitet und an komplexeren Aufgabenstellungen angewendet werden.
  
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*  Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
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*  Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
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*  Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben
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Kurzinformation
 
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Schulstufe 5. Klasse AHS (9. Schulstufe)
 
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Dauer ca. 6 UE (mehr bei geringen Vorkenntnissen der Schüler/innen in der Handhabung des elektronischen Werkzeugs)
 
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Verwendete Medien CAS, Derive, Excel, Applets, Animationen
 
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Technische Voraussetzungen Flash, Java, Web-Anbindung
 
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AutorInnen Irma Bierbaumer, Franz Embacher, Helmut Heugl
 
  
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1. Zur Nutzung dieses Lernpfades
 
  
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    Einsatz des Lernpfades als Lernsequenz. Der verbindende Text soll als Leitfaden für das selbstgesteuerte Lernen dienen.
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=Zur Nutzung dieses Lernpfades=
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    Der modulartige Aufbau erlaubt einen Einsatz nach individuellen methodischen Vorstellungen (nach eigenem "Drehbuch"). Die in diesem Kapitel angesprochenen Grundfähigkeiten und Grundfertigleiten sollten aber auf jeden Fall vermittelt werden. Dabei kann die im Folgenden angebotene Übersicht eine Art Leitlinie sein.
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Einsatz des Lernpfades als Lernsequenz'''<br>
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Der verbindende Text soll als Leitfaden für das selbstgesteuerte Lernen dienen.
  
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2. Didaktische Grundlagen
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'''Einsatz im Rahmen einer Lernspirale'''<br>
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2.1 Zur fundamentalen Idee der "Funktion"
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Der modulartige Aufbau erlaubt einen Einsatz nach individuellen methodischen Vorstellungen (nach eigenem "Drehbuch"). Die in diesem Kapitel angesprochenen Grundfähigkeiten und Grundfertigleiten sollten aber auf jeden Fall vermittelt werden. Dabei kann die im Folgenden angebotene Übersicht eine Art Leitlinie sein.
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==Zur fundamentalen Idee der "Funktion"==
  
 
Allgemeinbegriffe erwirbt man in der Regel durch die Erfahrung und Begegnung mit prototypischen Repräsentanten (den Begriff "Tisch" verinnerlicht man nicht, indem man eine exakte Definition gibt, sondern weil man verschiedene Prototypen des Tisches erlebt). So verinnerlichen Lernende die fundamentale Idee der Funktion auch nicht durch eine "saubere" Definition am Beginn des Lernprozesses, sondern indem er verschiedene Prototypen dieses Begriffes möglichst anhand von Beispielen aus seiner Erfahrungswelt erlebt [Dörfler, 1991].
 
Allgemeinbegriffe erwirbt man in der Regel durch die Erfahrung und Begegnung mit prototypischen Repräsentanten (den Begriff "Tisch" verinnerlicht man nicht, indem man eine exakte Definition gibt, sondern weil man verschiedene Prototypen des Tisches erlebt). So verinnerlichen Lernende die fundamentale Idee der Funktion auch nicht durch eine "saubere" Definition am Beginn des Lernprozesses, sondern indem er verschiedene Prototypen dieses Begriffes möglichst anhand von Beispielen aus seiner Erfahrungswelt erlebt [Dörfler, 1991].
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Handybeispiel (4) und Schachtelbeispiel (3) Aus dem Text bzw. der Funktionsgleichung Eigenschaften der jeweiligen Funktionen ableiten können.
 
Handybeispiel (4) und Schachtelbeispiel (3) Aus dem Text bzw. der Funktionsgleichung Eigenschaften der jeweiligen Funktionen ableiten können.
 
Schachtelbeispiel (5), Handybeispiel (4) und (5) Aus Gleichungen und Tabellen Graphen mit Hilfe geeigneter elektronischer Werkzeuge ermitteln können.
 
Schachtelbeispiel (5), Handybeispiel (4) und (5) Aus Gleichungen und Tabellen Graphen mit Hilfe geeigneter elektronischer Werkzeuge ermitteln können.
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2.2 Zum genetischen Konzept
 
  
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    Anschluss an das Vorverständnis der Adressaten.
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==Zum genetischen Konzept==
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    Probleme, wie z.B. Handytarife, kommen aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler.
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    Zulässigkeit einer informellen Einführung.
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* Anschluss an das Vorverständnis der Adressaten.<br>
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    Eine "saubere" Definition des Funktionsbegriffes erfolgt erst, wenn die Schülerinnen und Schüler schon längst mit verschiedenen Funktionsprototypen Bekanntschaft gemacht haben.
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* Probleme, wie z.B. Handytarife, kommen aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler.<br>
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    Hinführen zu strengeren Überlegungen; Erweiterung des Gesichtskreises, Standpunktsverlagerung.
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* Zulässigkeit einer informellen Einführung.<br>
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    Die Aufgabensequenz soll den Schülerinnen und Schülern die Notwendigkeit einer exakteren Fassung des Funktionsbegriffes klar machen (Definitions- und Zielmenge, usw.)
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* Eine "saubere" Definition des Funktionsbegriffes erfolgt erst, wenn die Schülerinnen und Schüler schon längst mit verschiedenen Funktionsprototypen Bekanntschaft gemacht haben.<br>
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    Durchgehende Motivation, Kontinuität.
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* Hinführen zu strengeren Überlegungen; Erweiterung des Gesichtskreises, Standpunktsverlagerung.<br>
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    Die Schülerinnen und Schüler sollten auch das Gemeinsame in dieser Aufgabensequenz erkennen und den Zusammenhang der einzelnen Phasen verstehen.
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* Die Aufgabensequenz soll den Schülerinnen und Schülern die Notwendigkeit einer exakteren Fassung des Funktionsbegriffes klar machen (Definitions- und Zielmenge, usw.)
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* Durchgehende Motivation, Kontinuität.
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* Die Schülerinnen und Schüler sollten auch das Gemeinsame in dieser Aufgabensequenz erkennen und den Zusammenhang der einzelnen Phasen verstehen.
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==Drei Phasen des Mathematiklernens==
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* '''Die experimentelle, heuristische Phase:'''
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Durch experimentieren mit verschiedenen Funktionsprototypen (Tabelle, Graf, usw.) erfahren die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Kennzeichen funktionaler Abhängigkeiten.
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* '''Die exaktifizierende Phase:'''
  
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2.3 Drei Phasen des Mathematiklernens
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Sie besteht in diesem Lernpfad in der Definition der Funktion und des Funktionsgraphen. Beweise im engeren Sinn findet man erst in späteren Teilen des Kapitels "Funktion".
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* '''Die Anwendungsphase:'''
  
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    Die experimentelle, heuristische Phase:
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Anwendungen begleiten den ganzen Lernprozess. Aus den Anwendungen wird auch der Funktionsbegriff erarbeitet. Im letzten Teil werden dann noch Aufgaben zur Festigung des Gelernten und eventuell zur Selbstevaluation und als Übungsaufgaben angeboten.
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    Durch experimentieren mit verschiedenen Funktionsprototypen (Tabelle, Graf, usw.) erfahren die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Kennzeichen funktionaler Abhängigkeiten.
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    Die exaktifizierende Phase:
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    Sie besteht in diesem Lernpfad in der Definition der Funktion und des Funktionsgraphen. Beweise im engeren Sinn findet man erst in späteren Teilen des Kapitels "Funktion".
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    Die Anwendungsphase:
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    Anwendungen begleiten den ganzen Lernprozess. Aus den Anwendungen wird auch der Funktionsbegriff erarbeitet. Im letzten Teil werden dann noch Aufgaben zur Festigung des Gelernten und eventuell zur Selbstevaluation und als Übungsaufgaben angeboten.
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3. Grundvorstellungen - Grundfähigkeiten
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=Grundvorstellungen - Grundfähigkeiten=
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3.1 Grundvorstellungen zu Funktionen
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==Grundvorstellungen zu Funktionen==
  
 
     Grundvorstellung 1:
 
     Grundvorstellung 1:

Version vom 3. Januar 2012, 14:05 Uhr

Der Lernpfad "Funktionen - Einstieg" kann zum Einstieg in das Thema Funktionen in der 5. Klasse AHS (9. Schulstufe) eingesetzt werden. Anhand konkreter Aufgabenstellungen soll mit Hilfe des Einsatzes elektronischer Medien Vorwissen aus der Unterstufe aktiviert und vertieft (verschiedene Darstellungsformen für Funktionen wie Formel, Wertetabelle, Graph) sowie neue Kenntnisse zum Funktionsbegriff (Präzisierung der Funktionsdefinition, Bezeichnungen wie Definitionsmenge, Zielmenge, Argument, Funktionswert,…) erarbeitet und an komplexeren Aufgabenstellungen angewendet werden.

Inhaltsverzeichnis

Kurzübersicht

Schulstufe

5. Schulstufe in Österreich bzw. 10. Jahrgangsstufe in Deutschland

Unterrichtsfächer

Mathematik

Dauer

Dauer ca. 8 UE

Technische Voraussetzungen

Internet und Java, GeoGebra einschließlich Tabellen und CAS, YouTube für Videos, Flash

Medien

Java-Applets, GeoGebra einschließlich Tabellen und CAS, Bilder, interaktive Tests

Lernziele

  • Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell
  • Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen identifizieren
  • Bei quadratischen Funktionen zwischen den Darstellungsformen Graph, Tabelle und Formel wechseln
  • Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben
  • Bestimmen der Parameter bzw. des Funktionsterms in verschiedenen Darstellungen der quadratischen Funktionen

Kompetenzen

Operieren, Interpretieren, Kommunizieren, Argumentieren, Dokumentieren, Transferieren

Methodik

Gruppenarbeit, Arbeit in Expertenteams oder Pferdestall, Lernen an Stationen

Autoren

Irma Bierbaumer, Franz Embacher, Helmut Heugl (2006), überarbeitet von Karl Haberl (2012)


Zur Nutzung dieses Lernpfades

Einsatz des Lernpfades als Lernsequenz
 Der verbindende Text soll als Leitfaden für das selbstgesteuerte Lernen dienen.

Einsatz im Rahmen einer Lernspirale
Der modulartige Aufbau erlaubt einen Einsatz nach individuellen methodischen Vorstellungen (nach eigenem "Drehbuch"). Die in diesem Kapitel angesprochenen Grundfähigkeiten und Grundfertigleiten sollten aber auf jeden Fall vermittelt werden. Dabei kann die im Folgenden angebotene Übersicht eine Art Leitlinie sein.

Didaktische Grundlagen

Zur fundamentalen Idee der "Funktion"

Allgemeinbegriffe erwirbt man in der Regel durch die Erfahrung und Begegnung mit prototypischen Repräsentanten (den Begriff "Tisch" verinnerlicht man nicht, indem man eine exakte Definition gibt, sondern weil man verschiedene Prototypen des Tisches erlebt). So verinnerlichen Lernende die fundamentale Idee der Funktion auch nicht durch eine "saubere" Definition am Beginn des Lernprozesses, sondern indem er verschiedene Prototypen dieses Begriffes möglichst anhand von Beispielen aus seiner Erfahrungswelt erlebt [Dörfler, 1991].

Im Laufe des "Funktionenlernens" erleben Lernende verschieden Prototypen des Funktionsbegriffes:

"Funktionenlernen" besteht im Wesentlichen darin, einen Prototypen zu finden, Beziehungen zwischen Prototypen herzustellen oder bestimmte Prototypen für das Problemlösen zu nutzen. Funktionenlernen an "Prototypen" in diesem Lernpfad Text <-> Tabelle <->Formel (=Funktionsgleichung) <->Tabelle <-> Graf Handybeispiel (1) Aus einem Text eine Tabelle, eine Gleichung finden. Handybeispiel (2) Mit einem geeigneten elektronischen Werkzeug eine Tabelle erstellen. Handybeispiel (3) Die Tabelle zum Problemlösen nutzen. Schachtelbeispiel (1) Aus einem Text, einer Skizze, einer Flashanimation eine Formel (Funktionsgleichung) finden. Schachtelbeispiel (2) Aus einer Formel eine Tabelle mit variabler Schrittweite erstellen. Handybeispiel (4) und Schachtelbeispiel (3) Aus dem Text bzw. der Funktionsgleichung Eigenschaften der jeweiligen Funktionen ableiten können. Schachtelbeispiel (5), Handybeispiel (4) und (5) Aus Gleichungen und Tabellen Graphen mit Hilfe geeigneter elektronischer Werkzeuge ermitteln können.

Zum genetischen Konzept

  • Anschluss an das Vorverständnis der Adressaten.
  • Probleme, wie z.B. Handytarife, kommen aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler.
  • Zulässigkeit einer informellen Einführung.
  • Eine "saubere" Definition des Funktionsbegriffes erfolgt erst, wenn die Schülerinnen und Schüler schon längst mit verschiedenen Funktionsprototypen Bekanntschaft gemacht haben.
  • Hinführen zu strengeren Überlegungen; Erweiterung des Gesichtskreises, Standpunktsverlagerung.
  • Die Aufgabensequenz soll den Schülerinnen und Schülern die Notwendigkeit einer exakteren Fassung des Funktionsbegriffes klar machen (Definitions- und Zielmenge, usw.)
  • Durchgehende Motivation, Kontinuität.
  • Die Schülerinnen und Schüler sollten auch das Gemeinsame in dieser Aufgabensequenz erkennen und den Zusammenhang der einzelnen Phasen verstehen.

Drei Phasen des Mathematiklernens

  • Die experimentelle, heuristische Phase:

Durch experimentieren mit verschiedenen Funktionsprototypen (Tabelle, Graf, usw.) erfahren die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Kennzeichen funktionaler Abhängigkeiten.

  • Die exaktifizierende Phase:

Sie besteht in diesem Lernpfad in der Definition der Funktion und des Funktionsgraphen. Beweise im engeren Sinn findet man erst in späteren Teilen des Kapitels "Funktion".

  • Die Anwendungsphase:

Anwendungen begleiten den ganzen Lernprozess. Aus den Anwendungen wird auch der Funktionsbegriff erarbeitet. Im letzten Teil werden dann noch Aufgaben zur Festigung des Gelernten und eventuell zur Selbstevaluation und als Übungsaufgaben angeboten.

Grundvorstellungen - Grundfähigkeiten

Grundvorstellungen zu Funktionen

   Grundvorstellung 1:
   Einen naiven Funktionsbegriff verinnerlichen: "Abhängigkeiten zwischen Größen"
   Grundvorstellung 2:
   Beziehungen zwischen verschiedenen "Prototypen" des Funktionsbegriffes herstellen und nutzen können:
       Text <-> Tabelle
       Text <-> Term
       Term <-> Tabelle
       Tabelle <-> Graph
       Term <-> Graph 
   Grundvorstellung 3:
   Einen exakteren Funktionsbegriff verinnerlichen

3.2 Grundfähigkeiten zu Funktionen 

   Grundfähigkeit 1:
   Mit Informationen aus einem Text eine Tabelle erstellen können
   Grundfähigkeit 2:
   Tabelle zum Interpretieren, zum Problemlösen nutzen können
   Grundfähigkeit 3:
   Aus einem Text, einer Tabelle einen Funktionsterm entwickeln können
   Grundfähigkeit 4:
   Aus einem Text, einer Tabelle, einem Term einen sinnvollen Definitionsbereich ableiten können
   Grundfähigkeit 5:
   Aus einer Tabelle, einem Funktionsterm einen Graphen zeichnen können
   Grundfähigkeit 6:
   Graphen interpretieren können
   Grundfähigkeit 7:
   Für alle diese Grundfähigkeiten technologische Hilfsmittel nutzen können

3.3 Was steht im Lehrplan?

In allen Schularten ist die Nutzung von informationstechnologischen Medien verpflichtend vorgeschrieben.

Allgemein bildende höhere Schule (AHS) 

   5. Klasse
   Funktionen

       Beschreiben von Abhängigkeiten, die durch reelle Funktionen in einer Variablen erfassbar sind (mittels Termen, Tabellen und Graphen), Reflektieren über den Modellcharakter von Funktionen
       Beschreiben und Untersuchen von linearen und einfachen nichtlinearen Funktionen
       Untersuchen von Formeln im Hinblick auf funktionale Aspekte, Beschreiben von direkten und indirekten Proportionalitäten mit Hilfe von Funktionen
       Arbeiten mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen

Höhere technische und gewerbliche Lehranstalten (HTL) 

   1. Jahrgang
   Funktionen

       Begriff, Darstellung im Koordinatensystem; lineare Funktion; Interpretieren von Tabellen, …

Handelsakademien (HAK) 

   II. Jahrgang
   Funktionen, Umkehrfunktionen, …

Höhere Lehranstalten für wirtschaftliche Berufe (HLW) 

   Lehrplan ist nicht jahrgangsbezogen
   Funktionenlehre

       Lineare Funktionen und dazugehörige Gleichungen
       Potenz- und Wurzelfunktionen, …
       Anwendungsbeispiele und Projekte zu funktionalen Zusammenhängen

Bildungsanstalt für Kindergartenpädagogik (BAKIP) 

   2. Klasse
   Funktionen

       Lineare Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen

Literatur 

   Dörfler, Willi. (1991): "Der Computer als kognitives Werkzeug und kognitives Medium" in Computer - Mensch - Mathematik. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien, 1991, S. 51. ISBN3-209-01452-3.
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