Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.  
 
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Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
 
Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
  
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Ist die Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>, dann ist das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.  
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Ist die Seitenlänge <math>a = 3 cm</math>, dann ist also das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.  
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Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen <math> V= 27 cm^3</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
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Version vom 28. April 2012, 13:39 Uhr

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Wuerfel.jpg

Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge a hat das Volumen V = a^3.

Ist die Seitenlänge a = 3 cm, dann ist also das Volumen V = 27 cm^3.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen V= 27 cm^3 die zugehörige Seitenlänge a= 3 cm.



Stift.gif   Aufgabe

Im folgenden Applet ist über der Seitenlänge a eines Würfels das Volumen V aufgetragen. Der Punkt V hat die Koordinaten (a, V). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für a einstellen.


a) Welches Volumen V ergibt sich für a = 1; 1,5; 2; 2,5?
b) Welchen Wert nimmt V für a = 3; 5; 10; 15 an?
c) Lies durch Variation des Schiebereglers ab für welche Werte a das Volumen V = 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576 ist.

a) a, 3,375; 8; 15,625
b) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6


Es ist

a = V^{\frac{1}{3}}

Man schreibt auch dafür

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a = x^n hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung

x = a^{\frac{1}{n}} oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\ 

heißt die n-te Wurzel aus a.


Stift.gif   Aufgabe

a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.

b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) Wuerfel V-a-Tabelle.jpg
b) Wuerfel V-a-graph.jpg
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Wuerfel V-a-graph 2.jpg


Maehnrot.jpg
Merke:

Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\ 

mit  x \in R^+_0 und n \in N.


  Aufgabe 1  Stift.gif

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.


f:V \rightarrow \sqrt[3]{V} mit V \in R^+_0


  Aufgabe 2  Stift.gif
  1. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\
  1. Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?


1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)


  Aufgabe 3  Stift.gif

Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
Variiere mit dem Schieberegler n.

  1. Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
  2. Wieso ist dies möglich?


  1. Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
  2. Es ist (-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27 und damit \sqrt[3]{-27}\ = -3 oder allgemein (-a)^3=-a^3 und damit \sqrt[3]{-a^3}\ = -a , also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.


Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du Übungen oder Anwendungen machen willst.

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