Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!<br> | a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!<br> | ||
| − | b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge <math>a</math> das Volumen <math>V</math> eines Würfels zuordnet! | + | b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge <math>a</math> das Volumen <math>V</math> eines Würfels zuordnet! <br> |
c) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!<br> | c) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!<br> | ||
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle! | d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle! | ||
Version vom 28. April 2012, 13:52 Uhr
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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.
Ein Würfel mit der Seitenlänge 
hat das Volumen 
.
Ist die Seitenlänge 
, dann ist also das Volumen 
.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen die zugehörige Seitenlänge .
Aufgabe 15
Im folgenden Applet wird der Seitenlänge
a) Welches Volumen |
zugeordnet. 
). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für
a) a, 3,375; 8; 15,625
b) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
Es ist
Man schreibt auch dafür
 Merke:
Die Gleichung  oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\ heißt die n-te Wurzel aus a. |
hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung
| Aufgabe
a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein. b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!) |
Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) 
b) 
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:
| Merke:
Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\ mit |
und 
.
Aufgabe 1
Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an. |
![f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}](/images/math/5/6/2/56277ceb06d9f1e85ce77b321e54ee46.png)
mit 
Aufgabe 2
|
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
2. (0;0 und (1;1)
Aufgabe 3
Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:
|
- Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
- Es ist
und damit ![\sqrt[3]{-27}\ = -3](/images/math/7/3/2/7323b20abc6126988a0de2478618344e.png)
oder allgemein 
und damit ![\sqrt[3]{-a^3}\ = -a](/images/math/f/3/8/f389bc623f1322d6697955ebeca3c1d1.png)
, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.
Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du Übungen oder Anwendungen machen willst.
