Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 14:13 Uhr

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge $a$ hat das Volumen $V = a^3$ .

Ist die Seitenlänge $a = 3 cm$ , dann ist also das Volumen $V = 27 cm^3$ .
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen $V= 27 cm^3$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe 15

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Würfels das Volumen $V$ zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten ( $a| V$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welches Volumen $V$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ das Volumen $V$ eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt $V$ für $a$ = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen $V$ die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen $a$ im Applet ab und ergänze deine Tabelle!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) a, 3,375; 8; 15,625
b) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Wie kannst du die Seitenlänge $a$ bei gegebenem Volumen $V$ berechnen?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$a = V^{\frac{1}{3}}$
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\

Merke

Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung

$x = a^{\frac{1}{n}}$ oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\

heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe 16

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar ( $V$ entspricht der x-Achse, $a$ entspricht der y-Achse)!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl $n$ die allgemeine Wurzelfunktion $n$ -ten Grades oder $n$ -te Wurzelfunktion definiert mit
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

mit  und .

Aufgabe 16

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktionsgleichung an!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $V \in R^+_0$

Aufgabe 17

Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du Übungen oder Anwendungen machen willst.

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 }}
-{{Arbeiten|NUMMER=18|
-ARBEIT=
-Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:<br>
-Variiere mit dem Schieberegler n.
-<ggb_applet width="792" height="370"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
-# Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
-# Wieso ist dies möglich?
-}}
-{{Lösung versteckt|
-# Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
-# Es ist <math>(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27</math> und damit <math>\sqrt[3]{-27}\ = -3</math> oder allgemein <math> (-a)^3=-a^3</math> und damit <math>\sqrt[3]{-a^3}\ = -a </math>, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.
-}}

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