Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 17:25 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Nochmals zum Anfangsbeispiel:

Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt $A = a^2$ .

Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite $a$ ? Natürlich 3 LE.

Es gilt also: $a = sqrt A$

Ausgangspunkt war die Gleichung $A = a^2$ .
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach $a$ aufgelöst.

Merke

Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl $x$ ihr Quadrat $x^2$ zu, so erhält man die Quadratfunktion $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Wird umgekehrt jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zugeordnet, so ist die Zuordnung $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion.

Die Funktion $g$ wird Umkehrfunktion der Funktion $f$ genannt.
Und anstelle von $g$ wird auch $f^{-1}$ geschrieben.

Die Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ .

Aufgabe 22

In diesem Bild sind die Graphen der Funktionen $f: x \rightarrow x^2$ mit $x\in R^+_0$ und $g: x \rightarrow \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt.

Was fällt dir auf?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Bisher hast du gelernt, dass die Funktionsgraphen von Umkehrfunktionen $f^{-1}$ und ihre Funktion $f$ symmetrisch zur Geraden y = x (1. Mediane) sind.

Jetzt lernt du, die Umkehrfunktion rechnerisch zu ermitteln.
Gehe zum Beispiel von der Funktiongleichung $y = 2x + 4$ aus.
Vertausche in dieser Gleichung $x$ und $y$ : $x = 2y + 4$

Das Umformen dieser Gleichung nach $y$ ergibt die Umkehrfunktion: $y = \frac{x-4}{2}$ also ist $y = \frac{x}{2} - 2$ .

Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenzfunktionen anwenden.

Aufgabe 23

Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
Wie erhält man für $x \in R^+_0$

graphisch
rechnerisch

von der Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ die Umkehrfunktion $f^{-1}$ ?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Merke

Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Potenzfunktion $f: x \rightarrow x^n$ mit $x \in R^+_0$ umkehrbar.
Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet: $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ . Sie heißt n-te Wurzelfunktion.

Die n-te Wurzelfunktion $f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]{x}$ mit $x \in R^+_0$ kannst du auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten.
Dann gilt: $f^{-1}: x \rightarrow x^{\frac{1}{n}}$ mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$ .

Bemerkung:

Alle Potenzfunktionen sind für $x \in R$ definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für $x \in R^-$ umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion

@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 Vertausche in dieser Gleichung <math>x</math> und <math>y</math>: <math>x = 2y + 4</math><br><br>
 Das Umformen dieser Gleichung nach <math>y</math> ergibt die Umkehrfunktion: <math>y = \frac{x-4}{2}</math> also ist <math>y = \frac{x}{2} - 2</math>.
+<br><br>Dieses Verfahren zur Ermittlung der Umkehrfunktion kannst du auch auf Potenzfunktionen anwenden.

Wurzelfunktion Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 28. April 2012, 17:25 Uhr

Navigationsmenü

Meine Werkzeuge

Namensräume

Varianten

Ansichten

Aktionen

Suche

Navigation

Werkzeuge