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Im Dreieck <math>\Delta AMS</math> betrachtet man das Streckenverhältnis <math>\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}</math>. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck <math> \Delta AMD</math> ist <math>\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}</math>. | Im Dreieck <math>\Delta AMS</math> betrachtet man das Streckenverhältnis <math>\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}</math>. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck <math> \Delta AMD</math> ist <math>\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}</math>. | ||
| − | Also ist <math>\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}</math>. | + | Also ist <math>\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}</math>. |
Formt man um <math> R-l = \frac{R^2}{R+h}</math> und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich <math> l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}</math>. | Formt man um <math> R-l = \frac{R^2}{R+h}</math> und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich <math> l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}</math>. | ||
| − | Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich <math> M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h} | + | Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich <math> M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h}</math> |
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Version vom 9. Februar 2013, 10:57 Uhr
Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.
 Aufgabe
Die Mantelfläche Zeige, dass die Mantelfläche |
der Kugelhaube ist 
wobei 
der Erdradius 6370km und 
die Länge der Strecke [CD] ist.
In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke 
und 
, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich:
Im Dreieck betrachtet man das Streckenverhältnis 
. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck ist 
.
Also ist 
.
Formt man um 
und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich 
.
