Rationale Funktionen Einführung: Unterschied zwischen den Versionen
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Da der Nenner eines Bruches nie Null sein darf, muss man die Definitionsmenge beachten. <br> | Da der Nenner eines Bruches nie Null sein darf, muss man die Definitionsmenge beachten. <br> | ||
Du hast so etwas schon bei der indirekten Proportionalität kennengelernt. Bei der Funktion <math> f: x \rightarrow \frac {1}{x}</math> darf auch <math>0</math> nicht eingesetzt werden.<br> | Du hast so etwas schon bei der indirekten Proportionalität kennengelernt. Bei der Funktion <math> f: x \rightarrow \frac {1}{x}</math> darf auch <math>0</math> nicht eingesetzt werden.<br> | ||
| − | Man | + | Man definiert allgemein solche Funktionen, bei denen x in einem Polynom im Nenner auftritt, als gebrochen-rationale Funktionen. |
{{Merke|Sind <math>g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0</math> mit <math>a_z\not=0</math> und <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0</math> mit <math>b_n\not=0</math> Polynome vom Grad <math>z</math> und <math>n</math> mit <math>z,n \in N</math>, | {{Merke|Sind <math>g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0</math> mit <math>a_z\not=0</math> und <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0</math> mit <math>b_n\not=0</math> Polynome vom Grad <math>z</math> und <math>n</math> mit <math>z,n \in N</math>, | ||
Aktuelle Version vom 25. März 2013, 14:33 Uhr
Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.
 Aufgabe
Die Mantelfläche 1. Zeige, dass die Mantelfläche Die Höhe 2. a) Bestimme die Definitionsmenge. b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen? c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche
|
wobei 
und 
die Länge der Strecke [CD] ist.
sich zu 
ergibt.
?
In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke 
und 
, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich:
Im Dreieck betrachtet man das Streckenverhältnis 
. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck ist 
.
Also ist 
.
Formt man um 
und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich 
.
Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich 
.
2. a) 
b) 
Im Funktionsterm 
für 
kommt die Variable x im Nenner des Bruches vor. Im Nenner steht ein linearer Term in x.
Da der Nenner eines Bruches nie Null sein darf, muss man die Definitionsmenge beachten.
Du hast so etwas schon bei der indirekten Proportionalität kennengelernt. Bei der Funktion 
darf auch 
nicht eingesetzt werden.
Man definiert allgemein solche Funktionen, bei denen x in einem Polynom im Nenner auftritt, als gebrochen-rationale Funktionen.
 Merke
Sind so heißt die Funktion Es ist Die Definitionsmenge von
Ist |
mit 
und 
mit 
Polynome vom Grad 
und 
mit 
,
mit 
gebrochen-rationale Funktion.
mit 
, dann ist Beispiel:
Die Funktion 
hat wegen 
als Definitionsmenge 
\ {-1;1}.
ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da 
und 
, also 
ist.
Bemerkung:
Unecht gebrochenrationale Funktion können mittels Polynomdivision in eine ganz-rationale Funktion und eine echt gebrochen-rationale Funktion aufgeteilt werden.
Beispiel für unecht gebrochen-rationale Funktionen:
1. Für die Funktion 
ist der Funktionsterm umformbar. Es ist 
2. Für die Funktion 
ist der Funktionsterm umformbar. Es ist 
