Rationale Funktionen Nullstellen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 4. April 2013, 11:06 Uhr

Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion findet man, indem man den Zähler der Funktion betrachtet, denn ein Bruch hat den Wert $0$ , wenn der Zähler den Wert $0$ hat.

$f:x \rightarrow \frac{2-x}{x^2}$ hat den Funktionswert $0$ , wenn der Zähler $2-x = 0$ ist.

Merke

Die gebrochen-rationale Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}$ hat für $x = x_0, x_0 \in D_{max}$ den Funktionswert Null, wenn das Zählerpolynom $g(x_0) = a_z a_0^z+a_{z-1}x_0^{z-1}+ ... + a_1 x_0+a_0 = 0$ ist.

Aufgabe 1

Ordne die Nullstellen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{2}{2x-6}$

$f(x) = \frac{x^2-64x}{x^2+64}$

$x_1 = -2; x_2 = 0$

$x = 0$

$x_1 = 0; x_2 = 2$

$f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}$

keine Nullstelle $f(x) = \frac{x^2+2x}{x^2-64}$ $x_1 = -8; x_2 = 8$ $x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}$ $f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}$ $f(x) = \frac{2x}{x-12}$

Aufgabe 2

Ermittle jeweils die Nullstellen der Funktion:

a) $f$ mit $f(x) = \frac{13-x}{(x-1)^2}$

b) $g$ mit $g(x) = \frac{16-x^2}{x^2+1}$

c) $h$ mit $h(x) = \frac{16}{x^2-1}$

d) $k$ mit $k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}$

e) $l$ mit $l(x) = \frac{x^2-5x+6}{(x^2+7)}$

f) $m$ mit $m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^4+1}$

g) $n$ mit $n(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

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 f) <math>m</math> mit <math>m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^4+1}</math>
-g) <math>m</math> mit <math>m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}</math>
+g) <math>n</math> mit <math>n(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}</math>
 }}

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