Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. April 2013, 09:52 Uhr

Die Funktion Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\fra“): f:x\rightarrow \fra{x-1}{x^2+x-2}

ist an den Nullstellen des Nenners , also für  nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm  so ist der gekürzte Term  für  erklärt mit dem Wert . Man sagt, dass  eine hebbare Definitionslücke ist.

Merke

Ist $x_0$ eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion $f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)}$ und existiert der Grenzwert $\lim_{x \to x_0}{f(x)}$ , so nennt man $x_0$ eine hebbare Definitionslücke der Funktion $f$ .

Die neue Funktion $\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}$ ist für $x = 1$ mit dem Funktiionswert $\tilde f(1) = \frac{1}{3}$ definiert. Man kann also die Funktion $f$ in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von $\tilde f(1)=\frac{1}{3}$ , dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.

Aufgabe 1

Gib jeweils für die Funktion $f$ die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von $f$ .

a) $f$ mit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$

b) $f$ mit $f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}$

c) $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x+7}$

d) $f$ mit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}$

e) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}$

f) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}$

g) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+5x+6}$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $x = 2$ ist eine Definitionslücke; wegen $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ ist $x=2$ hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(2)=4$ .

b) $x = 0; x = 2$ sind Definitionslücken; wegen $\frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2}$ ist $x=0$ hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(0)=-2$ .

c) $x = -7$ ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist $x = -7$ keine hebbare Definitionslücke.

d) $x = 3$ ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist $x = 3$ keine hebbare Definitionslücke.

e) $x = -2$ ist Definitinoslücke; wegen $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2}$ ist $x=-2$ weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.

f) $x = 3$ ist Definitionslücke; $x=3$ ist wegen $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2)$ eine hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(3)=15$ .

g) $x = 2; x = 3$ sind Definitionslücken; wegen $\frac{x^3+x^2-6x}{x^2+5x+6}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+2)}{x-2}$ eine hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(3)=15$ .

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 f) <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}</math>
+g) <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+5x+6}</math>
 }}
 {{Lösung versteckt|1=
-a) Definitionslücken: <math> x = 2</math>; <math>x=2</math> ist wegen <math>\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2</math> hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(2)=4</math>.
+a) <math> x = 2</math> ist eine Definitionslücke; wegen <math>\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2</math> ist <math>x=2</math> hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(2)=4</math>.
-b) Definitionslücken: <math> x = 0; x = 2</math>; <math>x=0</math> ist wegen <math>\frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2}</math> hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(0)=-2</math>.
+b) <math> x = 0; x = 2</math> sind Definitionslücken; wegen <math>\frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2}</math> ist <math>x=0</math> hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(0)=-2</math>.
-c) Definitionslücken: <math> x = -7</math>; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist  <math> x = -7</math> keine hebbare Definitionslücke.
+c) <math> x = -7</math> ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist  <math> x = -7</math> keine hebbare Definitionslücke.
-d) Definitionslücken: <math> x = 3</math>; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist  <math> x = 3</math> keine hebbare Definitionslücke.
+d) <math> x = 3</math> ist Definitionslücke; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist  <math> x = 3</math> keine hebbare Definitionslücke.
-e) Definitionslücken: <math> x = -2; x = 3</math>; <math>x=-2</math> ist wegen <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2}</math> weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.
+e) <math> x = -2</math> ist Definitinoslücke; wegen <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2}</math> ist <math>x=-2</math> weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.
-f) Definitionslücken: <math> x = 3</math>; <math>x=-2</math> ist wegen <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2)</math> eine hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(3)=15</math>.
+f) <math> x = 3</math> ist Definitionslücke; <math>x=3</math> ist wegen <math>f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2)</math> eine hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(3)=15</math>.
+g) <math> x = 2; x = 3</math> sind Definitionslücken; wegen <math>\frac{x^3+x^2-6x}{x^2+5x+6}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+2)}{x-2}</math> eine hebbare Definitionslücke mit <math>\tilde f(3)=15</math>.
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