Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken: Unterschied zwischen den Versionen

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Ordne die hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion <math>f:x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!  
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Ordne die hebbare bzw. nicht hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion <math>f:x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!  
 
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| <math>f(x) = \frac{2x}{x-12}</math> || x=12 ist nicht hebbar.
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| <math>f(x) = \frac{x^2-x}{x^2-1}</math> || x=1 ist hebbare Definitionslücke.
 
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| <math>f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2}</math> || x=2 ist nicht hebbar.
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| <math>f(x) = \frac{x^2-8x}{x^2-64}</math> ||  x=8 ist hebbare Definitionslücke.
 
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Version vom 6. April 2013, 11:21 Uhr

Die Funktion Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\fra“): f:x\rightarrow \fra{x-1}{x^2+x-2} 

ist an den Nullstellen des Nenners n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1), also für x \not= -2; 1 nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm \frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2} so ist der gekürzte Term \frac{1}{x+2} für x = 1 erklärt mit dem Wert \frac{1}{3}. Man sagt, dass x=1 eine hebbare Definitionslücke ist.
Nuvola apps kig.png   Merke

Ist x_0 eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)} und existiert der Grenzwert \lim_{x \to x_0}{f(x)}, so nennt man x_0 eine hebbare Definitionslücke der Funktion f.

Die neue Funktion \tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2} ist für x = 1 mit dem Funktiionswert \tilde f(1) = \frac{1}{3} definiert. Man kann also die Funktion f in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von \tilde f(1)=\frac{1}{3}, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.

  Aufgabe 1  Stift.gif

Gib jeweils für die Funktion f die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von f.

a) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}

b) f mit f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}

c) f mit f(x) = \frac{1}{x+7}

d) f mit f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}

e) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}

f) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}

g) f mit f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2-5x+6}


[Lösung anzeigen]

  Aufgabe 2  Stift.gif

Ordne die hebbare bzw. nicht hebbare Definitionslücke und die angegebene Funktion f:x \rightarrow f(x) richtig zu!


f(x) = \frac{x^2-8x}{x^2-64}

x=2 ist nicht hebbare Definitionslücke.

f(x) = \frac{x^2-x}{x^2-1}

f(x) = \frac{x^2-5x+4}{x^2-7x+12}

f(x) = \frac{x-3}{2x^2-6x}

f(x) = \frac{2x}{x-12}

x=3 ist hebbare Definitionslücke.x=1 ist hebbare Definitionslücke.x=8 ist hebbare Definitionslücke.x=12 ist nicht hebbare Definitionslücke.x=3 ist nicht hebbare Definitionslücke.f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-3x+2}

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