Eigenschaften von Funktionen

Du hast nun Funktionen als Objekte in der Mathematik kennengelernt. Wir wollen als Nächstes untersuchen, welche Eigenschaften Funktionen haben.

Monotonie

Aufgabe 1  Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. a) $f:x \rightarrow x^2$ in $R^+$ b) $f:x \rightarrow sin(x)$ in [0;1] c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [0;3] </center Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

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Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Merke Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Aufgabe 2  Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen a) $f:x \rightarrow x^2$ in $R^-$ b) $f:x \rightarrow sin(x)$ in [2;3] c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [-3;0] Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

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Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.

Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Merke Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Merke Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton zunehmend ist, d.h.für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton abnehmend ist, d.h. für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Aufgabe 3  Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)

(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)

Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.

$f:x \rightarrow x^2$ im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow 2sin(x) + 3$ im Intervall [$\pi;\frac{3}{2}\pi$] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow 2^x$ im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow log_2(x)$ im Intervall [-1;4] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow 4-x^2$ im Intervall [-1;4] (!streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (weder noch)

$f:x \rightarrow x^2+2x+1$ im Intervall [2;8] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow x^n$ mit $n gerade$ im Intervall [-4;-1] (!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)

$f:x \rightarrow x^n$ mit $n ungerade$ im Intervall [-3;9] (streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)

Grenzwert

Merke Zuerst vereinbaren wir: sehr große positve Zahlen sind solche positive Zahlen mit großem Betrag (z.B. 1000000) sehr großen negative Zahlen sind solche negative Zahlen mit großem Betrag (z.B. –1000000) sehr kleine positive Zahlen sind solche positive Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. 0,0000001) sehr kleinen negative Zahlen solche negative Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. –0,0000001 ) Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten. Beispiel: Wir betrachten die Funktion $f: x \rightarrow x^2$ Wir wollen x gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen. Wir schreiben für x gegen unendlich: $\lim_{n \to \infty}x^2$ und für x gegen minus unendlich: $\lim_{n \to -\infty}x^2$ Es ist dann $\lim_{n \to \infty}x^2 = \infty$ und $\lim_{n \to -\infty}x^2 =\infty$ Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl $\lim_{n \to 3^+}x^2$ heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B. 3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw. $\lim_{n \to 3^-}x^2$ heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B. 2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw.