Wurzelfunktion Übungen 1

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Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

Aufgabe 1  Zeichne den Graphen der Funktionen $f:x \rightarrow x^2$ im Intervall [0;3] und den Graphen der Funktion $g:x \rightarrow \sqrt x$ im Intervall [0;7] in ein Koordinatensystem. Beschreibe mit Worten die besondere Lage dieser beiden Graphen zueinander.

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Die Graphen von f und g sind achsensymmetrisch zur Gerade y = x (1. Mediane).

Neben der Quadratwurzelfunktion treten auch Funktionsterme der Art

$a \sqrt x$,

$a \sqrt x + b$ und

$\sqrt {ax+b}$

auf. Diese wirst du nun mit der Methode "Gruppenpuzzle" untersuchen.

Jede der folgenden Aufgabenstellungen (6, 7 und 8) wird von ein oder zwei Gruppen bearbeitet. Jedes Gruppenmitglied muss in der Lage sein, das Wissen weiterzugeben.
Überlegt gemeinsam, welche Informationen am wichtigsten sind und unbedingt in euren Mitschriften stehen sollten.

Aufgabe 2  Im Applet ist der Graph der Wurzelfunktion $f:x \rightarrow a \sqrt x$ mit $x \in R^+_0$ dargestellt. Variiere mit dem Schieberegler den Wert von $a$. Beschreibe, wie sich der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ ändert für $a = -1$ $0 < a < 1$ $1 < a$ $a < 0$ Wie wirkt sich die Änderung des Parameters $a$ auf die Definitions- und Wertemenge aus?

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1. Für $a = -1$ wird der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ an der x-Achse gespiegelt.
2. Für $0 < a < 1$ wird der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ in y-Richtung gestaucht.
3. Für $1 < a$ wir der Graph der Wurzelfunktion $x \rightarrow \sqrt x$ in y-Richtung gestreckt.
4. Für negative $a$ wird der Graph von 2. oder 3. an der y-Achse gespiegelt.

Die Definitionsmenge bleibt $R^+_0$.

Für $a > 0$ ist die Wertemenge $R^+_0$, für $a = 0$ ist sie {0} und für $a < 0$ $R^-_0$

Aufgabe 3  Du betrachstest die Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$. Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für $a$ und $b$ verändern. Anfangs ist $a = 1$ und $b = 0$. Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt. 1. Was passiert, wenn du den Wert von $b$ änderst? Unterscheide $b > 0$ und $b < 0$. Gib die Nullstellen an! Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion. 2. Stelle wieder $b = 0$ ein. Variiere nun $a$. Was stellst du fest? Wie ändern sich die Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion. 3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert. 4. Wo ist die Nullstelle der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$? 5. Gib die Definitionsmenge der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$ an.

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1. Für $b > 0$ wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach links verschoben.
Für $b < 0$ wird der Graph der Wurzelfunktion entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
Die Nullstelle tritt bei $x = -b$ auf.
$D = [-b;\infty[$, Wertemenge: $R^+_0$

2. Für $0 < a < 1$ wird der Graph der Wurzelfunktion in y-Richtung gestaucht.
Für $a > 1$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt.
Ist $a < 0$ so wird der Graph mit $|a|$ an der y-Achse gespiegelt.
Für a > 0 ist $D = R^+_0$, für a < 0 ist $D = R^-_0$
Wertemenge: $R^+_0$

4. $x = -\frac{b}{a}$

5. Ist $a > 0$ dann ist $D = [-\frac{b}{a};\infty[$ und ist $a < 0$, dann ist $D = ]-\infty;-\frac{b}{a}]$

Mischgruppen
Jede Mischgruppe besteht aus mindestens einer Expertin bzw. einem Experten zu den obigen drei Aufgaben. Die Expertinnen und Experten fassen das Wesentliche für die anderen zusammen. Gemeinsam werden anschließend die folgenden drei Aufgaben gelöst.

Aufgabe 3  Skizziere und vergleiche die Graphen folgender Funktionen! Gib jeweils den Definitions- und Wertebereich an! a) $f(x) = \sqrt{x+2}$ b) $g(x) = \sqrt x + 2$ c) $h(x) = \sqrt{x-2}$ d) $k(x)=2\sqrt{x}$ e) $l(x) = \sqrt x - 2$ f) $m(x) = -2\sqrt{x}$

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$f$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach links verschoben.
$g$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach oben verschoben.
$h$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der x-Achse nach rechts verschoben.
$k$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 entlang der y-Achse nach unten verschoben.

Aufgabe 4  Es ist die Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{25-x^2}$ gegeben. Bestimme die Definitionsmenge. Zeichne den Graphen. Wie kann man den Graphen noch bezeichnen? Bonus: Zeige, dass alle Punkte auf dem Graphen vom Ursprung den gleichen Abstand haben.

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1. $D = [-5;5]$
2. 
3. Halbkreis
4. Für einen Punkt P(x;y) auf dem Graphen gilt: $x^2 + y^2 = x^2 + (25 - x^2) = 25$ unabhängig von x. Also hat jeder Punkt auf dem Graphen den Abstand 5 vom Ursprung.

Aufgabe 5  a) Löse dieses Quiz. b) Öffne diese Webseite. Wähle Niveau 2 und finde zum gegebenen Funktionsgraph den passenden Funktionsterm. Hinweis zur Schreibweise: Schreibe für $\sqrt x$ sqrt(x).

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