Rationale Funktionen Definitionen

Merke Sind $g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0$ mit $a_z\not=0$ und $h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0$ mit $b_n\not=0$ Polynome vom Grad z und n, so heißt die Funktion $f: \rightarrow f(x)$ mit $f(x)= \frac{g(x)}{h(x)}$ gebrochen-rationale Funktion. Es ist $f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}$ mit $a_z, b_n\not=0$ Die Definitionsmenge von $f$ ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms. z ist der Grad des Zählerpolynoms, n der Grad des Nennerpolynoms. Ist z < n, dann ist $f$ eine echt gebrochen-rationale Funktion, ist z > n, dann ist $f$ eine unecht gebrochen-rationale Funktion.

Beispiel:

Die Funktion $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat wegen $x^2-1= (x+1)(x-1)$ als Definitionsmenge $R$\ {-1;1}.
$f$ ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da z=1 und n = 2, also z < n ist.

Merke Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Beispiel:

Die Funktion $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat die Definitionslücken $x = -1$ und $x = 1$.

Merke Ist an einer Definitionslücke $x_0$ einer gebrochen-rationalen Funktion $f$ $\lim_{x \to x_0}\left| f(x) \right|=\infty$, dann ist die Definitionslücke $x_0$ eine Polstelle von f. Die Gerade mit der Gleichung $x = x_0$ ist senkrechte Asymptote des Graphen von f.

Beispiel:

Die Funktion $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat die Definitionslücken $x = -1$ und $x = 1$.

Es ist $\lim_{x \to -1}\left| f(x) \right|=\infty$, da z(-1) = 1 ist. $x = -1$ ist Polstelle und die Gerade $x = -1$ ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.

Ebenso ist $\lim_{x \to 1}\left| f(x) \right|=\infty$, da z(1) = 1 ist. $x = 1$ ist Polstelle und die Gerade $x = 1$ ist senkrechte Asymptote für den Graphen von f.