Rationale Funktionen Einführung

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Aufgabe Die Mantelfläche $M$ der Kugelhaube ist $M = 2\pi R h$ wobei $R$ der Erdradius $R = 6370 km$ und $h$ die Länge der Strecke [CD] ist. 1. Zeige, dass die Mantelfläche $M$ in Abhängigkeit der Höhe $x$ sich zu $M=\frac{2\pi R^2h}{R+x}$ ergibt. Die Höhe $x$ ist die Variable für die Mantelfläche $M$. 2. a) Bestimme die Definitionsmenge. b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen? c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche $M$ für $x \rightarrow \infty$?

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1.

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke $\Delta AMS$ und $\Delta AMD$, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck $\Delta AMS$ betrachtet man das Streckenverhältnis $\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+x}{R}$. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck $\Delta AMD$ ist $\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-h}$.

Also ist $\frac {R+x}{R} = \frac {R}{R-h}$.

Formt man um $R-h = \frac{R^2}{R+x}$ und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich $h = R - \frac{R^2}{R+x}=\frac{R^2+Rx-R^2}{R+x}=\frac{Rh}{R+x}$.

Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich $M = \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}$.

2. a) $D = [0;\infty[$

b) $x \not= -R$

c) $M = 2 \pi R^2$

Im Funktionsterm $\frac {2 \pi R^2 x}{R+x}$ für $M$ kommt die Variable x im Nenner des Bruches vor. Im Nenner steht ein linearer Term in x.
Da der Nenner eines Bruches nie Null sein darf, muss man die Definitionsmenge beachten.
Du hast so etwas schon bei der indirekten Proportionalität kennengelernt. Bei der Funktion $f: x \rightarrow \frac {1}{x}$ darf auch $0$ nicht eingesetzt werden.
Man definiert allgemein solche Funktionen, bei denen x in einem Polynom im Nenner auftritt, als gebrochen-rationale Funktionen.

Merke Sind $g(x) = a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0$ mit $a_z\not=0$ und $h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0$ mit $b_n\not=0$ Polynome vom Grad $z$ und $n$ mit $z,n \in N$, so heißt die Funktion $f: \rightarrow f(x)$ mit $f(x)= \frac{g(x)}{h(x)}$ gebrochen-rationale Funktion. Es ist $f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}$ mit $a_z, b_n\not=0$ Die Definitionsmenge von $f$ ist die Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Nullstellen des Nennerpolynoms. $z$ ist der Grad des Zählerpolynoms, $n$ der Grad des Nennerpolynoms. Ist $z < n$, dann ist $f$ eine echt gebrochen-rationale Funktion, ist $z \ge n$, dann ist $f$ eine unecht gebrochen-rationale Funktion.

Beispiel:

Die Funktion $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat wegen $x^2-1= (x+1)(x-1)$ als Definitionsmenge $R$\ {-1;1}.
$f$ ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da $z=1$ und $n = 2$, also $z < n$ ist.

Bemerkung:

Unecht gebrochenrationale Funktion können mittels Polynomdivision in eine ganz-rationale Funktion und eine echt gebrochen-rationale Funktion aufgeteilt werden.

Beispiel für unecht gebrochen-rationale Funktionen:

1. Für die Funktion $f:x\rightarrow \frac{x^2+2}{x^2-1}$ ist der Funktionsterm umformbar. Es ist $\frac{x^2+2}{x^2-1}=1+ \frac {3}{x^2-1}$

2. Für die Funktion $f:x\rightarrow \frac{x^3+2}{x^2-1}$ ist der Funktionsterm umformbar. Es ist $\frac{x^3+2}{x^2-1}=x+ \frac {x+2}{x^2-1}$