Rationale Funktionen Definitionsmenge

Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie $0$ sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine $0$ explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert $0$ annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert $0$ im Nenner führen, ausschließen.

Die Funktion

1. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat den Nennerterm $x^2-1$. Dieser Term nimmt für $x = -1$ und $x = 1$ den Wert $0$.

2. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}$ hat den Nennerterm $x^2-2x+1$. Dieser Term nimmt für $x = 1$ den Wert $0$.

3. $f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}$ hat den Nennerterm $x^3-x^2-2x$. Dieser Term nimmt für $x = -1$, $x=0$ und $x = 2$ den Wert $0$.

Merke Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für $x$ keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom $h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0$ ist. Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet. Die Definitionsmenge der gebrochen-rationalen Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nennerpolynoms h(x). $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}$

Beispiele:

Die Funktion

1. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat, da sich der Nenner $x^2-1=(x+1)(x-1)$ umformen lässt, die Definitionslücken $x = -1$ und $x = 1$, also ist $D = R$\$\begin{Bmatrix} -1; & 1 \end{Bmatrix}$.

2. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}$ hat, da sich der Nenner $x^2-2x+1=(x-1)^2$ umformen lässt, die Definitionslücke $x = 1$, also ist $D = R$\$\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}$.

3. $f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}$ hat, da sich der Nenner $x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)$ umformen lässt, die Definitionslücken $x = -1$, $x=0$ und $x = 2$, also ist $D = R$\$\begin{Bmatrix} -1; 0; 2 \end{Bmatrix}$.

Aufgabe Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{2x}{x-12}$	D = R \{12}
$f(x) = \frac{2}{2x-6}$	D = R \{3}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}$	D = R \{-1;1}
$f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}$	D = R \{1;2}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-64}$	D = R \{-8;8}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2+64}$	D = R