Rationale Funktionen Nullstellen

Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion findet man, indem man den Zähler der Funktion betrachtet, denn ein Bruch hat den Wert $0$, wenn der Zähler den Wert $0$ hat.

$f:x \rightarrow \frac{2-x}{x^2}$ hat den Funktionswert $0$, wenn der Zähler $2-x = 0$ ist.

Merke Die gebrochen-rationale Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{a_zx^z+a_{z-1}x^{z-1}+ ... + a_1 x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0}$ hat für $x = x_0, x_0 \in D_{max}$ den Funktionswert Null, wenn das Zählerpolynom $g(x_0) = a_z a_0^z+a_{z-1}x_0^{z-1}+ ... + a_1 x_0+a_0 = 0$ ist.

Aufgabe 1  Ordne die Nullstellen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{2x}{x-12}$	$x = 0$
$f(x) = \frac{2}{2x-6}$	keine Nullstelle
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}$	$x_1 = 0; x_2 = 2$
$f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}$	$x_1 = -\frac{1}{2}-\frac{sqrt{5}}{2}; x_2=1; x_3=-\frac{1}{2}+\frac{sqrt{5}}{2}$
$f(x) = \frac{x^2+2x}{x^2-64}$	$x_1 = -2; x_2 = 0$
$f(x) = \frac{x^2-64x}{x^2+64}$	$x_1 = -8; x_2 = 8$

Aufgabe 2  Ermittle jeweils die Nullstellen der Funktion: a) $f$ mit $f(x) = \frac{13-x}{(x-1)^2}$ b) $g$ mit $g(x) = \frac{16-x^2}{x^2+1}$ c) $h$ mit $h(x) = \frac{16}{x^2-1}$ d) $k$ mit $k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}$ e) $l$ mit $l(x) = \frac{x^2-5x+6}{(x^2+7)}$ f) $m$ mit $m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^4+1}$ g) $m$ mit $m(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}$

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a) x = 13

b) x = -4 ; x = 4

c) keine

d) x = -2; x= -1

e) x= 2; x = 3

f) x = -3; x = 0; x = 2

g) x = -3; x = 0; (x = 2 muss näher untersucht werden, da 2 auch Nullstelle des Nenners ist!)