Quadratische Funktionen 2 - quadratische Ergänzung

Aufgabe Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term $a x^2 + bx + c$ auf die Form $a (x - d)^2 + e$. Wie du das machst wird dir hier erklärt.

Merke Klammere a aus: $a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$ Ergänze in der Klammer $x^2 + \frac{b}{a} x$ mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also $x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{2b}{a})^2 - (\frac{2b}{a})^2 = [x + (\frac{2b}{a})]^2 - (\frac{2b}{a})^2$ Du hast also nun $a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{2b}{a}))^2 - (\frac{2b}{a})^2 + \frac{c}{a}]$ Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst: $a [(x + (\frac{2b}{a}))^2 - (\frac{2b}{a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{2b}{a}))^2 - \frac{4b^2}{a} + c$ Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term $a x^2 + bx + c$ auf die Form $a (x - d)^2 + e$ bringen. Dabei ist $d = -(\frac{2b}{a}))^2$ und $e = c - \frac{4b^2}{a}$

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