Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge $a$ hat das Volumen $V = a^3$.

Ist die Seitenlänge $a = 3 cm$, dann ist also das Volumen $V = 27 cm^3$.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen $V= 27 cm^3$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$.

Aufgabe 15  Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Würfels das Volumen $V$ zugeordnet. Der Punkt P hat die Koordinaten ($a| V$). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen. a) Welches Volumen $V$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest! b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ das Volumen $V$ eines Würfels zuordnet! c) Welchen Wert nimmt $V$ für $a$ = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung! c) Lies durch Variation des Schiebereglers ab für welche Werte $a$ das Volumen $V$ = 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576 ist.

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a) a, 3,375; 8; 15,625
b) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Es ist

$a = V^{\frac{1}{3}}$

Man schreibt auch dafür

Merke: Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung $x = a^{\frac{1}{n}}$ oder heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein. b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)

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Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Merke: Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$.

Aufgabe 1  Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.

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$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $V \in R^+_0$

Aufgabe 2  Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

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1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Aufgabe 3  Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet: Variiere mit dem Schieberegler n. Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2? Wieso ist dies möglich?

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1. Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
2. Es ist $(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27$ und damit $\sqrt[3]{-27}\ = -3$ oder allgemein $(-a)^3=-a^3$ und damit $\sqrt[3]{-a^3}\ = -a$, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.

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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Als nächstes kannst du wählen, ob du Übungen oder Anwendungen machen willst.