Wurzelfunktion Umkehrfunktion
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Nochmals zum Anfangsbeispiel:
Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat den Flächeninhalt .
Wenn du von einem Quadrat den Flächeninhalt mit 9 FE kennst, wie lang ist dann die Seite ? Natürlich 3 LE.
Es gilt also:
Ausgangspunkt war die Gleichung .
Diese wurde durch Anwenden der Umkehroperation nach aufgelöst.
Ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl ihr Quadrat zu, so erhält man die Quadratfunktion mit . Macht man die Zuordnung umgekehrt und ordnet man jeder nicht negativen reellen Zahl x ihre Quadratwurzel zu, so ist die Zuordnung mit die Quadratwurzelfunktion oder Wurzelfunktion. Man erhält diese Funktion durch Umkehrung der Fragestellung: Man nennt die Umkehrfunktion zur Funktion und schreibt statt auch . |
In diesem Bild sind die Graphen zu den Funktionen mit und mit dargestellt. Was fällt dir auf? |
Die Graphen sind zueinander achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. Quadranten
Bearbeite diese Seite und beantworte dann:
von der Potenzfunktion die Umkehrfunktion ? |
- Spiegeln an der Geraden
- In der Gleichung x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Man erhält .
Die Umkehrfunktion lautet .
Da ist, muss man nicht auf die Definitionsmenge aufpassen und diese eventuell einschränken.
Für jede natürliche Zahl ist die Potenzfunktion mit umkehrbar. Die n-te Wurzelfunktion mit kann man auch als Potenzfunktion mit Stammbruchexponenten betrachten. Es ist dann mit und . |
Bemerkung:
Alle Potenzfunktionen sind für definiert. Dies kann man bei der Bildung von Umkehrfunktionen nicht immer aufrecht erhalten. Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man auch für umkehren, bei geraden Exponenten geht dies nicht. Wenn du hierzu mehr wissen willst, lies die folgenden Seiten:
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben eine Umkehrrelation
So findet man bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten die Umkehrfunktion