Quadratische Funktionen 2 - quadratische Ergänzung

Aufgabe

Durch quadratische Ergänzung bringst du einen Term $a x^2 + bx + c$ auf die Form $a (x - d)^2 + e$ .
Schaue dir auf hier an wie man das macht.

Merke

Klammere a aus: $a x^2 + bx + c = a (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$
Ergänze in der Klammer $x^2 + \frac{b}{a} x$ mittels der binomischen Formeln zu einem Quadrat, also $x^2 + \frac{b}{a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x = x^2 + \frac{2b}{2a} x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 = [x + (\frac{b}{2a})]^2 - (\frac{b}{2a})^2$
Du hast also nun $a x^2 + bx + c = a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}]$
Multipliziere die eckige Klammer aus und du erhältst: $a [(x + (\frac{b}{2a}))^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}] = a (x + (\frac{b}{2a}))^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

Mit diesen 4 Schritten kannst du den Term $a x^2 + bx + c$ auf die Form $a (x - d)^2 + e$ bringen. Dabei ist $d = -\frac{b}{2a}$ und $e = c - \frac{b^2}{4a}$

Beispiele:

1. Ergänze $x^2+6x$ quadratisch.
Schaue dir den Koeffizienten von x an: 6
In der 1. binomischen Formel $x^2+2xa+a^2=(x+a)^2$ ist beim mittleren Glied $2ax$ bei $x$ der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also $6 = 2\cdot 3$ .
$x^2+6x=x^2+2\cdot 3x$
Ergänze nun mit der binomischen Formel $x^2+2xa+a^2=(x+a)^2$ zu einem Quadrat, also $x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2$ .
Nun kann man nicht einfach $9$ addieren, also subtrahiert man gleich wieder $9$ .
$f(x)=x^2+2\cdot 3x=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9=(x+3)^2-9$

2. Ergänze $x^2+6x+5$ quadratisch.
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: 6
In der 1. binomischen Formel $x^2+2xa+a^2=(x+a)^2$ ist beim mittleren Glied $2ax$ bei $x$ der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also $6 = 2\cdot 3$ .
$x^2+6x+5=x^2+2\cdot 3x +5$
Ergänze nun mit der binomischen Formel $x^2+2xa+a^2=(x+a)^2$ zu einem Quadrat, also $x^2+2\cdot 3 x +9=(x+3)^2$ .
Nun kann man nicht einfach $9$ addieren, also subtrahiert man gleich wieder $9$ .
$x^2+2\cdot 3x+5=x^2+2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-4$

3. Ergänze $x^2-6x+5$ quadratisch
Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: 6
Nun steht vor dem mittleren Glied ein Minuszeichen. Daher verwende die 2. binomische Formel.
In der 2. binomischen Formel $x^2-2xa+a^2=(x-a)^2$ ist beim mittleren Glied $2ax$ bei $x$ der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also $6 = 2\cdot 3$ .
$x^2-6x+5=x^2+2\cdot 3x+5$
Ergänze nun mit der binomischen Formel $x^2-2xa+a^2=(x-a)^2$ zu einem Quadrat, also $x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2$ .
Nun kann man nicht einfach $9$ addieren, also subtrahiert man gleich wieder $9$ .
$x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$

4. $2x^2-12x+10$
Damit du das bisherige Verfahren anwenden kannst, klammere zuerst den Koeffizienten von $x^2$ aus.
$2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)$
In der Klammer steht nun der gleiche Term wie im Beispiel 3.
Gehe nun für den Klammerterm genauso vor. Schaue dir wieder den Koeffizienten von x an: 6
In der 2. binomischen Formel $x^2-2xa+a^2=(x-a)^2$ ist beim mittleren Glied $2ax$ bei $x$ der Koeffizient 2. Also zerlege 6 in ein Produkt mit Faktor 2, also $6 = 2\cdot 3$ .
$x^2-6x+5=x^2+2\cdot 3x+5$
Ergänze nun mit der binomischen Formel $x^2-2xa+a^2=(x-a)^2$ zu einem Quadrat, also $x^2-2\cdot 3 x +9=(x-3)^2$ .
Nun kann man nicht einfach $9$ addieren, also subtrahiert man gleich wieder $9$ .
$x^2-2\cdot 3x+5=x^2-2\cdot 3x + 9 - 9+5=(x-3)^2-9+5=(x-3)^2-4$
Also ergibt sich mit der $2$ vor der Klammer:
$2x^2-12x+10=2(x^2-6x+5)=2(x^2+2\cdot 3x + 9 - 9 + 5)=2[(x-3)^2-9+5]=2[(x-3)^2-4]$
Löse nun die eckige Klammer auf
$2x^2-12x+10=2[(x-3)^2-4]=2(x-2)^2-8$