Marie

Marie hat zwei Brieffreundinnen. Ines wohnt in Madrid, Maike in Hamburg. In den Sommerferien trafen sie sich in Wien und gingen in den Prater. Dort bestaunten sie das Riesenrad. Maike fiel sofort ein, als sie das Riesenrad sah ein, dass sie im Mathematikunterricht die Sinusfunktion durch Abwickeln am Einheitskreis erhalten hatten.

Tipp:
1. Falls du nicht mehr weißt wie das "Abwickeln am Einheitskreis" funktioniert, kannst du es hier nochmals anschauen.
2. Informationen zum Riesenrad im Wiener Prater findest du hier.

Riesenrad

Maike meinte nun, dass eine Gondel sicher auch eine Sinuslinie beschreibt. Marie und Ines wollten dies natürlich erklärt haben. Unterstütze sie, indem du folgendes GeoGebra-Applet öffnest und ihnen bei der Lösungsfindung hilfst.

GeoGebra-Applet zum Riesenrad

Hinweis: Falls du nur ein leeres GeoGebra-Blatt mit Algebra-Ansicht und Zeichenblatt siehst, entferne die Algebra-Ansicht links, verkleinere das Blatt und verschiebe es so, dass du das Riesenrad, den Schieberegler, das Bild und den Funktionsterm auf deinem Bildschirm sehen kannst. So sollte dein Bildschirm aussehen:

Aufgabe 1  a) Verändere nun den Winkel $\varphi$ mit dem Schieberegler. b) Klicke an „Situation im Koordinatensystem betrachten“ – Drehe dabei das Riesenrad ganz langsam. c) Bringe den Schieberegler für den Drehwinkel $\varphi$ auf 0° und klicke „Modellierung mit einer Sinusfunktion“ an. d) Erzeuge mit Hilfe der Schieberegler für a, b, c und d eine Sinuskurve, auf der die Punkte des Riesenrads liegen. e) Lies die Parameterwerte für a, b, c und d ab. Notiere die Sinusfunktion.

Nachdem Marie, Ines und Maike dieses Problem gelöst hatten, gingen sie ein Eis essen. Dabei beobachteten sie die Sonne, wie sie gen Westen immer tiefer stand und unterging. Maike bemerkte dabei, dass sie in Hamburg immer ganz lange Sommertage haben. Ines meinte, dass die Tage in Madrid gar nicht so lang seien. Marie meint nur, dass heute in Wien ein toller Sommertag war. Allerdings beschäftige sie dieses Problem weiter und Marie bat ihre Freundinnen einmal über ein Jahr hin zu beobachten wie lang die Tage in Hamburg und Madrid seien. Regelmäßig zum Monatsersten notierten sie die Sonnenaufgangs- und Sonnenuntergangszeiten und schrieben Marie die Tageslängen.

Tageslänge

Marie erstellt daraufhin folgende Tabelle:

und macht dazu dies Diagramm:

Um eine Idee zu bekommen, auf welcher Linie, die dazwischenliegenden Tage liegen könnten, verbindet sie die Punkte

und meint nun, dass diese auf einer Sinuslinie liegen.

Nun möchte sie natürlich Terme für diese Sinuskurven der Tageslängen in Madrid und Hamburg angeben.

Aufgabe 1  Hilf Marie dabei und finde die Werte der Parameter a, b, c und d für die allgemeine Sinusfunktionen.

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Lösung Aufgabe 1

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Die Sinusfunktion schaut im GeoGebra-Applet etwa so aus:

1. Die Parameterwerte sind: a = 20, b = 0,05, c = -1,56, d = 30
2. Die Sinusfunktion lautet: x --> 20sin(0,05x - 1,56) + 30

Lösung Aufgabe 2

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Amplitude: a = $\frac{1}{2}max-min$
Mittelwert: d = min + a
Periodendauer: T = 365
Verschiebung:80 Die Periode beginnt am 21. März (Tag- und Nachtgleiche), nicht am 1. Januar!

Tageslänge Hamburg:

a: 4:11,5 ergibt als Zahlenwert 4,19
d: 11:53 ergibt als Zahlenwert 11,88
Tageslänge(t) = $4.19 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+11.88$

Tageslänge Madrid:

a: 2:50 ergibt als Zahlenwert 2,83
d: 12:11 ergibt als Zahlenwert 12,18

Tageslänge(t) = $2.83 \cdot sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(t-80))+12.18$

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