Eigenschaften von Funktionen

Monotonie

Aufgabe 1  Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. $x^2$ in $R^+$ $sin(x)$ in [0;1] $-\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [0;3] Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

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Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Merke Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Aufgabe 2  Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen $x^2$ in $R^-$ $sin(x)$ in [2;3] $-\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [-3;0] Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

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Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.

Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Merke Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings steigend und fallend.

Merke Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton zunehmend ist, (d.h.für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton abnehmend ist, (d.h. für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$