Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion

Ein Würfel mit Seitenlänge a hat dasVolumen $V = a^3$.

Man weiß von einem Würfel, dass es das Volumen 27 VE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.

Es ist

$a = V^{\frac{1}{3}}$

Man schreibt auch dafür

Merke: Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung $x = a^{\frac{1}{n}}$ oder heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein. b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)

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Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Merke: Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion mit $x \in R^+_0$ und $n \in N$.

Aufgabe 1  Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.

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$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $V \in R^+_0$

Aufgabe 2  Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

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1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Aufgabe 3  Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet: Variiere mit dem Schieberegler n. Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2? Wieso ist dies möglich?

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1. Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
2. Es ist $(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27$ und damit $\sqrt[3]{-27}\ = -3$ oder allgemein $(-a)^3=-a^3$ und damit $\sqrt[3]{-a^3}\ = -a$, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.