Wurzelfunktion Übungen 1

Bei den Übungen zur Wurzelfunktion lernst du weitere sich aus ihr ergebene Funktionen kennen.

Aufgabe 1  Zeichne in ein Koordinatensystem die Graphen der Funktionen $f:x \rightarrow x^2$ für $x\in R^+_0$ und $g:x \rightarrow \sqrt x$ für $x\in R^+_0$. Was stellst du fest?

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Die Graphen von f und g sind achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des 1. Quadranten.

Meist tritt als Funktionsterm nicht nur die Quadratwurzel auf. Bei den Anwendungen sind die Funktionsterme von der Art $a \sqrt x$. Oft treten auch Terme von der Art $ax + b$ unter der Wurzel auf. Dies soll nun näher untersucht werden.

Aufgabe 2  Du betrachstest die Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$. Im folgenden Applet kannst du mit den Schiebereglern die Werte für $a$ und $b$ verändern. Anfangs ist $a = 1$ und $b = 0$. Es ist der Graph der Quadratwurzelfunktion dargestellt. 1. Was passiert, wenn du den Wert von $b$ änderst? Unterscheide $b > 0$ und $b < 0$. 2. Stelle wieder $b = 0$ ein. Variiere nun $a$. Was stellst du fest? 3. Variiere nun a und b gleichzeitig und beachte was passiert. 4. Wo ist die Nullstelle der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$? 5. Gib die Definitionsmenge der Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{ax + b}$ an.

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1. Für $b > 0$ wird der Graph der Wurzelfunktion nach links verschoben. Die Nullstelle tritt bei $x = -b$ auf. Für $b < 0$ wird der Graph der Wurzelfunktion nach rechts verschoben. Die Nullstelle tritt bei $x = -b$ auf.

2. Für $0 < a < 1$ wird der Graph der Wurzelfunktion in y-Richtung gestaucht. Für $a > 1$ wird der Graph in y-Richtung gestreckt. Ist $a < 0$ so wird der Graph mit $|a|$ an der y-Achse gespiegelt.

4. $x = -\frac{b}{a}$

5. Ist $a > 0$ dann ist $D = [-\frac{b}{a};\infty[$ und ist $a < 0$, dann ist $D = ]-\infty;-\frac{b}{a}]$

Aufgabe 3  Skizziere und vergleiche die Graphen a) $f(x) = \sqrt{x+2}$ b) $g(x) = \sqrt x + 2$ c) $h(x) = \sqrt{x-2}$ d) $k(x) = \sqrt x - 2$

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$f$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 nach links verschoben.
$g$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 nach oben verschoben.
$h$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 nach rechts verschoben.
$k$: Der Graph der Quadratwurzelfunktion wird um 2 nach unten verschoben.

Aufgabe 4  Es ist die Funktion $f: x \rightarrow \sqrt{25-x^2}$ gegeben. Bestimme die Definitionsmenge. Zeichne den Graphen. Zeige, dass alle Punkte auf dem Graphen vom Ursprung den gleichen Abstand haben. Wie kann man den Graphen noch bezeichnen?

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1. $D = [-5;5]$
2. 
3. Für einen Punkt P(x;y) auf dem Graphen gilt: $x^2 + y^2 = x^2 + (25 - x^2) = 25$ unabhängig von x. Also hat jeder Punkt auf dem Graphen den Abstand 5 vom Ursprung.
4. Halbkreis

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