Grenzwert

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Merke Zuerst vereinbaren wir: sehr große positve Zahlen sind solche positive Zahlen mit großem Betrag (z.B. 1000000) sehr großen negative Zahlen sind solche negative Zahlen mit großem Betrag (z.B. –1000000) sehr kleine positive Zahlen sind solche positive Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. 0,0000001) sehr kleinen negative Zahlen solche negative Zahlen mit kleinem Betrag (z.B. –0,0000001 ) Grenzwerte von Funktionen spiegeln das Verhalten im Unendlichen wieder oder, falls wir x gegen einen anderen Wert als unendlich laufen lassen, das entsprechende Verhalten. Beispiel: Wir betrachten die Funktion $f: x \rightarrow x^2$ Wenn x gegen 3 (man schreibt $x \rightarrow 3$)geht, dann geht der Funktionswert gegen $f(3)$. Man nennt dies den Grenzwert von $f(x)$ für x gegen 3 und schreibt $\lim_{x \to 3}f(x)$ oder $\lim_{x \to 3}x^2$. Es ist dann $\lim_{x \to 3}f(x) = \lim_{x \to 3}x^2 = f(3)$ Wir können x auch gegen unendlich und gegen minus unendlich laufen lassen. Wir schreiben für x gegen unendlich: $\lim_{x \to \infty}x^2$ und für x gegen minus unendlich: $\lim_{x \to -\infty}x^2$ Da in beiden Fällen die Funktionswerte immer größer werden und über alle Grenzen wachsen, ist dann $\lim_{x \to \infty}x^2 = \infty$ und $\lim_{x \to -\infty}x^2 =\infty$ Ein Plus-oder Minuszeichen rechts hochgestellt an einer Zahl bei Grenzwerten bedeutet Annäherung von rechts – bzw. von links her an die Zahl $\lim_{x \to 3^+}x^2$ heißt: x ist bei der Annäherung größer als 3, also z.B. 3,1 ; 3,01 ; 3,001 usw. $\lim_{x \to 3^-}x^2$ heißt: x ist bei der Annäherung kleiner als 3, also z.B. 2,9 ; 2,99 ; 2,999 usw. Es ist dann $\lim_{x \to 3^+}x^2 = 9$ bzw. $\lim_{x \to 3^-}x^2 = 9$.

Aufgabe 1  Verändere im folgenden Applet mit dem Schieberegler den Wert von h. Für welchen Wert von h stimmt P mit A überein? Wie schreibst du diesen Sachverhalt mit dem Grenzwert? Welcher Grenzwert ergibt sich bei Annäherung von links, welcher bei Annäherung von rechts? Was passiert, wenn h sehr groß wird?

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1. h = 0
2. $\lim_{x \to 2}f(x) = \frac{4}{3}$
3. in beiden Fällen $\frac{4}{3}$, also $\lim_{x \to 2^-}f(x) = \lim_{x \to 2^+}f(x) = f(2)= \frac{4}{3}$
4. $\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$

Auf den folgenden Seiten sind zum Thema Grenzwert weitere Erklärungen und Beispiele zu finden:

1. Grenzwert an einer Stelle
2. Beispiel mit Grenzwert und ohne Grenzwert
3. Beispiele: Identische Funktion, konstante Funktion, Betragsfunktion, trigonometrische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

Aufgabe 2  Bestimme die Grenzwerte folgender Funktionen: $f: x \rightarrow x$ für $x \rightarrow 2$ $f: x \rightarrow x^2$ für $x \rightarrow -3$ $f: x \rightarrow x^n$ für $x \rightarrow 1$ $f: x \rightarrow x^n$ für $x \rightarrow -1$ wenn n ungerade $f: x \rightarrow x^n$ für $x \rightarrow -1$ wenn n gerade $f: x \rightarrow 2^x$ für $x \rightarrow 5$ $f: x \rightarrow 2^x$ für $x \rightarrow -2$ $f: x \rightarrow log_2 (x)$ für $x \rightarrow 1$ $f: x \rightarrow log_2 (x)$ für $x \rightarrow 1024$ $f: x \rightarrow 4 - x^2$ für $x \rightarrow -2$ $f: x \rightarrow x^3 - x^2 + 4$ für $x \rightarrow 2$ $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ für $x \rightarrow 0$ $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ für $x \rightarrow 1$ $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \rightarrow 2$

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1. $\lim_{x \to 2}x = 2$
2. $\lim_{x \to -3}x^2 = 9$
3. $\lim_{x \to 1}x^n = 1$
4. $\lim_{x \to -1}x^n = -1$
5. $\lim_{x \to -1}x^n = 1$
6. $\lim_{x \to 5}2^x = 32$
7. $\lim_{x \to -2}2^x = 0,25$
8. $\lim_{x \to 1}log_2 (x) = 0$
9. $\lim_{x \to 1024}log_2 (x) = 10$
10. $\lim_{x \to -2}4 - x^2 = 0$
11. $\lim_{x \to 2}x^3 - x^2 + 4 = 0$
12. $\lim_{x \to 0}-\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1) = -1$
13. $\lim_{x \to 1}-\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1) = -\frac{11}{18}$
14. $\lim_{x \to 2}\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

Aufgabe 3  Bestimme die Grenzwerte gegen $-\infty$ oder $\infty$ folgender Funktionen: $f: x \rightarrow x$ für $x \rightarrow \infty$ $f: x \rightarrow x^2$ für $x \rightarrow -\infty$ $f: x \rightarrow x^n$ für $x \rightarrow \infty$ $f: x \rightarrow x^n$ für $x \rightarrow -\infty$ wenn n ungerade $f: x \rightarrow x^n$ für $x \rightarrow -\infty$ wenn n gerade $f: x \rightarrow 2^x$ für $x \rightarrow \infty$ $f: x \rightarrow 2^x$ für $x \rightarrow -\infty$ $f: x \rightarrow log_2 (x)$ für $x \rightarrow \infty$ $f: x \rightarrow log_2 (x)$ für $x \rightarrow 0$ $f: x \rightarrow 4 - x^2$ für $x \rightarrow \infty$ $f: x \rightarrow x^3 - x^2 + 4$ für $x \rightarrow - \infty$ $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ für $x \rightarrow \infty$ $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ für $x \rightarrow -\infty$ $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \rightarrow \infty$ $f: x \rightarrow \frac{1}{x}$ für $x \rightarrow 0^+$

Falls du Hilfe brauchst, öffne GeoGebra,gib die Funktionsterme ein und betrachte den Graphen.

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1. $\lim_{x \to \infty}x = \infty$
2. $\lim_{x \to -\infty}x^2 = \infty$
3. $\lim_{x \to \infty}x^n = \infty$
4. $\lim_{x \to -\infty}x^n = -\infty$
5. $\lim_{x \to -\infty}x^n = \infty$
6. $\lim_{x \to \infty}2^x = \infty$
7. $\lim_{x \to -\infty}2^x = 0$
8. $\lim_{x \to \infty}log_2 (x) = \infty$
9. $\lim_{x \to 0}log_2 (x) = -\infty$
10. $\lim_{x \to -\infty}4 - x^2 = -\infty$
11. $\lim_{x \to -\infty}x^3 - x^2 + 4 = \infty$
12. $\lim_{x \to \infty}-\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1) = -\infty$
13. $\lim_{x \to -\infty}-\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1) = \infty$
14. $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} = 0$
15. $\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = \infty$

Links

Sehr viel mehr über Grenzwerte und ihre Handhabung, speziell für rationale Funktionen, erfährst du im Crashkurs Grenzwerte

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