Rationale Funktionen Einführung

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Aufgabe Die Mantelfläche $M$ der Kugelhaube ist $M = 2\pi R l$ wobei $R$ der Erdradius 6370km und $l$ die Länge der Strecke [CD] ist. Zeige, dass die Mantelfläche $M$ in Abhängigkeit der Höhe h zu $M=\frac{2\pi R^2h}{R+h}$ ergibt

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In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke $\Delta AMS$ und $\Delta AMD$, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck $\Delta AMS$ betrachtet man das Streckenverhältnis $\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}$. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck $\Delta AMD$ ist $\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}$.

Also ist $\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}$.

Formt man um $R-l = \frac{R^2}{R+h}$ und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich $l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}$.

Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich $M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h}$