Rationale Funktionen Einführung

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe h um Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Aufgabe 1  {{{ARBEIT}}}

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke $\Delta AMS$ und $\Delta AMD$, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck $\Delta AMS$ betrachtet man das Streckenverhältnis $\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+h}{R}$. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck $\Delta AMD$ ist $\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-l}$.

Also ist $\frac {R+h}{R} = \frac {R}{R-l}$.

Formt man um $R-l = \frac{R^2}{R+h}$ und löst nach l auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich $l = R - \frac{R^2}{R+h}=\frac{R^2+Rh-R^2}{R+h}=\frac{Rh}{R+h}$.

Setzt man den Term für l in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich $M = \frac {2 \pi R^2 h}{R+h}$

Die Höhe $h$ ist die Variable für die Mantelfläche $M$.

Aufgabe 2  {{{ARBEIT}}}

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $D = [0;\infty[$

b) $M = 2 \pi R^2$