Rationale Funktionen Einführung

Astronauten, die von einer Raumstation,welche in der Höhe x um die Erde kreist, auf die Erde blicken, sehen eine Kugelhaube.

Aufgabe Die Mantelfläche $M$ der Kugelhaube ist $M = 2\pi R h$ wobei $R$ der Erdradius $R = 6370 km$ und $h$ die Länge der Strecke [CD] ist. 1. Zeige, dass die Mantelfläche $M$ in Abhängigkeit der Höhe $x$ sich zu $M=\frac{2\pi R^2h}{R+x}$ ergibt. Die Höhe $x$ ist die Variable für die Mantelfläche $M$. 2. a) Bestimme die Definitionsmenge. b) Welchen Wert dürftest du nicht für x einsetzen? c) Welcher Grenzwert ergibt sich für die Mantelfläche $M$ für $x \rightarrow \infty$?

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1.

In diesem Bild betrachet man die zwei rechtwinkligen Dreiecke $\Delta AMS$ und $\Delta AMD$, welche zueinander ähnlich sind. In ähnlichen Dreiecken sind die Streckenverhältnisse entsprechender Seiten gleich: Im Dreieck $\Delta AMS$ betrachtet man das Streckenverhältnis $\frac {\bar {SM}}{\bar {}{MA}} = \frac {R+x}{R}$. Das entsprechende Seitenverhältnis im Dreieck $\Delta AMD$ ist $\frac {\bar {MA}}{\bar {}{MD}} = \frac {R}{R-h}$.

Also ist $\frac {R+x}{R} = \frac {R}{R-h}$.

Formt man um $R-h = \frac{R^2}{R+x}$ und löst nach h auf und fasst die rechte Seite zusammen, dann ergibt sich $h = R - \frac{R^2}{R+x}=\frac{R^2+Rx-R^2}{R+x}=\frac{Rh}{R+x}$.

Setzt man den Term für h in die Formel für die Mantelfläche ein, so ergibt sich $M = \frac {2 \pi R^2 x}{R+x}$

2. a) $D = [0;\infty[$

b) $x \not= -R$

c) $M = 2 \pi R^2$