Rationale Funktionen Asymptoten

Merke Eine Gerade $y = mx + t$ heißt Asymptote für $x \rightarrow \infty$ zum Graph der Funktion $f$, wenn $\lim_{x \to \infty}[f(x)-(mx+t)]=0$ ist.

Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für $x \rightarrow \infty$ beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden.

Wir betrachten nun Asymptoten für gebrochen rationale Funktionen $f:x \rightarrow \frac{a_n x^n+...+a_0}{b_m x^m + ... + b_0}$ im maximalen Definitionsbereich.

Aufgabe Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}$ für n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?

Merke Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt: Ist z < n, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse $y = 0$ Asymptote. Ist z = n und ist $a_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Zählerpolynom und $b_n$ der Koeffizient von $x^n$ im Nennerpolynom, dann ist für $x \rightarrow \pm \infty$ die Gerade $y = \frac{a_n}{b_n}$ Asymptote. Ist z = n+1,dann kann man mittels Polynomdivision den Bruch in einen linearen Term $mx+t$ und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term $y = mx+t$ gibt die Asymptote an. Ist z > n+1, dann hat der Graph von $f$ eine asymptotische Kurve.

Im folgenden Applet ist eine ähnliche Funktionenschar wie oben dargestellt: $f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^2}$ für n = 1, 2, 3, 4. Der Grad des Nennerpolynoms ist diesmal 2.
n lässt sich wieder mit dem Schieberegler variieren.

Da das Nennerpolynom Grad 2 hat sieht man für n = 4 die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für $x \rightarrow \pm \infty$ annähert.

Hier sind die Überlegungen nochmals zusammengefasst.
Zusammenfassung mit Beispielen: