Rationale Funktionen hebbare Definitionslücken

Die Funktion

ist an den Nullstellen des Nenners $n(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, also für $x \not= -2; 1$ nicht erklärt. Vereinfacht man den Funktionsterm $\frac{x-1}{x^2+x-2} =\frac{x-1}{(x+2)(x-1)}=\frac{1}{x+2}$ so ist der gekürzte Term $\frac{1}{x+2}$ für $x = 1$ erklärt mit dem Wert $\frac{1}{3}$. Man sagt, dass $x=1$ eine hebbare Definitionslücke ist.

Merke Ist $x_0$ eine Nullstelle des Zählers und des Nenners der gebrochen-rationalen Funktion $f:x\rightarrow \frac{z(x)}{n(x)}$ und existiert der Grenzwert $\lim_{x \to x_0}{f(x)}$, so nennt man $x_0$ eine hebbare Definitionslücke der Funktion $f$.

Die neue Funktion $\tilde f:x\rightarrow \frac{1}{x+2}$ ist für $x = 1$ mit dem Funktiionswert $\tilde f(1) = \frac{1}{3}$ definiert. Man kann also die Funktion $f$ in die hebbare Definitionslücke fortsetzen. Nimmt man den Funktionswert von $\tilde f(1)=\frac{1}{3}$, dann hat man die Funktion sogar stetig fortgesetzt.

Aufgabe 1  Gib jeweils für die Funktion $f$ die Definitionslücken an und untersuche welche Definitionslücken hebbar sind. Gib gegebenenfalls eine Fortsetzung von $f$. a) $f$ mit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ b) $f$ mit $f(x) = \frac{4x}{x^2-2x}$ c) $f$ mit $f(x) = \frac{1}{x+7}$ d) $f$ mit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-3}$ e) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}$ f) $f$ mit $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}$

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a) Definitionslücken: $x = 2$; $x=2$ ist wegen $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(2)=4$.

b) Definitionslücken: $x = 0; x = 2$; $x=0$ ist wegen $\frac{4x}{x^2-2x}=\frac{4x}{x(x-2)}=\frac{4}{x-2}$ hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(0)=-2$.

c) Definitionslücken: $x = -7$; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist $x = -7$ keine hebbare Definitionslücke.

d) Definitionslücken: $x = 3$; da man den Bruchterm nicht kürzen kann, ist $x = 3$ keine hebbare Definitionslücke.

e) Definitionslücken: $x = -2; x = 3$; $x=-2$ ist wegen $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x^2+4x+4}=\frac{x(x+2)(x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x(x-3)}{x+2}$ weiterhin Definitionslücke und nicht hebbar.

f) Definitionslücken: $x = 3$; $x=-2$ ist wegen $f(x) = \frac{x^3+x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x+2)(x-3)}{x-3}=x(x+2)$ eine hebbare Definitionslücke mit $\tilde f(3)=15$.