Rationale Funktionen Definitionsmenge: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. April 2013, 17:28 Uhr

Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie $0$ sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine $0$ explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert $0$ annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert $0$ im Nenner führen, ausschließen.

Die Funktion

1. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat den Nennerterm $x^2-1$ . Dieser Term nimmt für $x = -1$ und $x = 1$ den Wert $0$ an.

2. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}$ hat den Nennerterm $x^2-2x+1$ . Dieser Term nimmt für $x = 1$ den Wert $0$ an.

3. $f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}$ hat den Nennerterm $x^3-x^2-2x$ . Dieser Term nimmt für $x = -1$ , $x=0$ und $x = 2$ den Wert $0$ an.

Merke

Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für $x$ keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom $h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0$ ist.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als Definitionslücken bezeichnet.

Die Definitionsmenge der gebrochen-rationalen Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nennerpolynoms h(x).

$D = R$ \ $\begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}$

Beispiele:

Die Funktion

1. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}$ hat, da sich der Nenner $x^2-1=(x+1)(x-1)$ umformen lässt, die Definitionslücken $x = -1$ und $x = 1$ , also ist $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} -1; & 1 \end{Bmatrix}$ .

2. $f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}$ hat, da sich der Nenner $x^2-2x+1=(x-1)^2$ umformen lässt, die Definitionslücke $x = 1$ , also ist $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}$ .

3. $f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}$ hat, da sich der Nenner $x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)$ umformen lässt, die Definitionslücken $x = -1$ , $x=0$ und $x = 2$ , also ist $D = R$ \ $\begin{Bmatrix} -1; 0; 2 \end{Bmatrix}$ .

Aufgabe 1

Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen $f: x \rightarrow f(x)$ richtig zu!

$f(x) = \frac{2x}{x-12}$	D = R \{12}
$f(x) = \frac{2}{2x-6}$	D = R \{3}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}$	D = R \{-1;1}
$f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}$	D = R \{1;2}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-64}$	D = R \{-8;8}
$f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2+64}$	D = R

Aufgabe 2

Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an:

a) $f$ mit $f(x) = \frac{13}{(x-1)^2}$

b) $g$ mit $g(x) = \frac{16}{x^2+1}$

c) $h$ mit $h(x) = \frac{16}{x^2-1}$

d) $k$ mit $k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}$

e) $l$ mit $l(x) = \frac{x-2}{(x^2-5x+6)}$

f) $m$ mit $m(x) = \frac{x+2}{x^2+x-6}$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) D=R \ {1}

b) D=R

c) D=R \ {-1;1}

d) D=R \ {2;3}

e) D=R \ {2;3}

f) D=R \ {-3;2}

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-{{Merke|Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als '''Definitionslücken''' bezeichnet.}}
+Bei Zahlbrüchen hast du kennengelernt, dass der Nenner des Bruches nie <math>0</math> sein darf. Dies gilt natürlilch auch weiterhin. Bei den gebrochen-rationalen Funktionen steht natürllich keine <math>0</math> explizit im Nenner, aber es gibt Terme, die den Wert <math>0</math> annehmen können. Dies darf nicht geschehen. Daher müssen wir die x-Werte, die zum Termwert <math>0</math> im Nenner führen, ausschließen.
-'''Beispiel:'''
+Die Funktion
-Die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat die Definitionslücken <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math>.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-1</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> an.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}</math> hat den Nennerterm <math>x^2-2x+1</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = 1</math> den Wert <math>0</math> an.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}</math> hat den Nennerterm <math>x^3-x^2-2x</math>. Dieser Term nimmt für <math> x = -1</math>, <math>x=0</math>  und <math> x = 2</math> den Wert <math>0</math> an.
+{{Merke|
+Der Nenner eines Bruches darf nie den Wert Null annehmen darf. Daher darf man für <math>x</math> keine Werte einsetzen, dass das Nennerpolynom <math>h(x) = b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+ ... + b_1 x+b_0 = 0</math> ist.
+Die Nullstellen des Nennerpolynoms werden als '''Definitionslücken''' bezeichnet.
+Die '''Definitionsmenge der gebrochen-rationalen Funktion''' <math> f</math> mit <math> f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math> ist die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nennerpolynoms h(x).
+<math> D = R</math> \ <math>\begin{Bmatrix} x & |h(x)=0 \end{Bmatrix}</math>
+}}
+'''Beispiele:'''
+Die Funktion
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-1}</math> hat, da sich der Nenner <math>x^2-1=(x+1)(x-1)</math> umformen lässt, die Definitionslücken <math> x = -1</math> und <math> x = 1</math>, also ist <math> D = R</math>\<math>\begin{Bmatrix} -1; & 1 \end{Bmatrix}</math>.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x-2}{x^2-2x+1}</math> hat, da sich der Nenner <math>x^2-2x+1=(x-1)^2</math> umformen lässt, die Definitionslücke <math> x = 1</math>, also ist <math> D = R</math>\<math>\begin{Bmatrix} 1 \end{Bmatrix}</math>.
+. <math>f:x\rightarrow \frac{x^2-2}{x^3-x^2-2x}</math> hat, da sich der Nenner <math>x^3-x^2-2x=x(x+1)(x-2)</math> umformen lässt, die Definitionslücken <math> x = -1</math>, <math>x=0</math>  und <math> x = 2</math>, also ist <math> D = R</math>\<math>\begin{Bmatrix} -1; 0; 2 \end{Bmatrix}</math>.
+{{Arbeiten|NUMMER=1|
+ARBEIT=
+Ordne die Definitionsmengen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
+}}
+<div class="zuordnungs-quiz">
+{|
+| <math>f(x) = \frac{2x}{x-12}</math> || D = R \{12}
+|-
+| <math>f(x) = \frac{2}{2x-6}</math> || D = R \{3}
+|-
+| <math>f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-1}</math> || D = R \{-1;1}
+|-
+| <math>f(x) = \frac{x^3-2x+1}{x^2-3x+2}</math> || D = R \{1;2}
+|-
+| <math>f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2-64}</math> || D = R \{-8;8}
+|-
+| <math>f(x) = \frac{x^2-2x}{x^2+64}</math> || D = R
+|}
+</div>
+{{Arbeiten|NUMMER=2|
+ARBEIT=
+Gib jeweils die maximale Definitionsmenge an:
+a) <math>f</math> mit <math>f(x) = \frac{13}{(x-1)^2}</math>
+b) <math>g</math> mit <math>g(x) = \frac{16}{x^2+1}</math>
+c) <math>h</math> mit <math>h(x) = \frac{16}{x^2-1}</math>
+d) <math>k</math> mit <math>k(x) = \frac{x^2+3x+2}{(x-3)(x-2)}</math>
+e) <math>l</math> mit <math>l(x) = \frac{x-2}{(x^2-5x+6)}</math>
+f) <math>m</math> mit <math>m(x) = \frac{x+2}{x^2+x-6}</math>
+}}
+{{Lösung versteckt|1=
+a) D=R \ {1}
+b) D=R
+c) D=R \ {-1;1}
+d) D=R \ {2;3}
+e) D=R \ {2;3}
+f) D=R \ {-3;2}
+}}

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