Rationale Funktionen Indirekte Proportionalitaet

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Eine Tafel Schokolade mit 24 Stücken soll auf Kinder verteilt werden. Wie viele Stückchen bekommt jedes Kind?

x bezeichne die Anzahl der Kinder und y die Anzahl der Schokoladenstückchen, die jedes Kind bekommt.

  Aufgabe 1  Stift.gif

a) Vervollständige die Tabelle: http://wikis.zum.de/rsg/images/6/67/Tab-24-x.jpg

b) Zeichne den Graph für dieses Beispiel.

c) Betrachte die Produkte x*y. Was stellst du fest?


Nuvola apps kig.png   Merke


Eine Zuordnung zwischen zwei Größen x und y heißt indirekt proportional, wenn das Produkt x*y für alle Paare (x,y) stets konstant ist.


In diesem Beispiel ist x eine natürliche Zahl zwischen 1 und 24.

Man kann die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg allgemein für alle reellen Zahlen x, die ungleich Null sind, erklären.
Der Graph dieser Funktion schaut dann so aus:

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Der Graph einer indirekten Proportionalität heißt Hyperbel.


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Funktion http://wikis.zum.de/rsg/images/a/a6/Fm_x_term.jpg mit einer rationalen Zahl m heißt indirekte Proportionalität oder indirekt proportionale Funktion.

  Aufgabe 2  Stift.gif

Bestimme die Definitionsmenge und die Wertemenge.

Ist der Graph symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems?


Da x im Nenner steht, darf x nicht 0 sein, also ist die Definitionsmenge R\{0}.

Eine solche Stelle, an der der Funktionsterm nicht definiert ist und in deren Nähe die Funktionswerte nach + Unendlich oder - Unendlich gehen, heißt Polstelle.

http://wikis.zum.de/rsg/images/6/64/F24-x-graph.jpg

Aus dem Graph sieht man, dass 0 als Funktionswert nicht angenommen wird, ansonsten kommen alle reelle Zahlen als y-Werte vor, also ist die Wertemenge auch R\{0}.

Desweiteren sieht man, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
  Aufgabe 3  Stift.gif

a) Stelle in diesem Applet


den Schieberegler für m so ein, dass es den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg zeigt.

b) Beschreibe wie du den Graphen von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg aus dem Graphen der Funktion f:x \rightarrow \frac{1}{x} erhältst?

c) Beantworte die Fragen auf dieser Seite (wird im Mozilla Firefox nicht alles angezeigt, also mit Internet Explorer öffnen!).


Der Funktionsterm von http://wikis.zum.de/rsg/images/0/05/F24-x.jpg ist ein Bruch, in dessen Nenner die Variable x vorkommt. Kommen im Nenner der Funktion f auch andere Terme mit x vor, z.B. http://wikis.zum.de/rsg/images/e/eb/Bspl-rationale-funktion.jpg oder http://wikis.zum.de/rsg/images/d/dd/Bspl-rationale-funktion2.jpg
dann spricht man von rationalen Funktionen.


Mehr über indirekte Proportionalität wiederholst du in diesem Lernpfad.