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− | [[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Einfluss der Parameter]]
| + | Bearbeite nun die folgenden Seiten: |
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− | [[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen]] | + | #[[Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter|Einfluss der Parameter]] |
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− | [[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Anwendungen in der Physik]] | + | #[[Trigonometrische Funktionen/Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen|Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen]] |
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− | [[Trigonometrische Funktionen/Zusatzaufgaben|Zusatzaufgaben]] | + | #[[Trigonometrische Funktionen/Anwendungen in der Physik|Anwendungen in der Physik]] |
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− | ===Einfluss der Parameter===
| + | #[[Trigonometrische Funktionen/Zusatzaufgaben|Zusatzaufgaben]] |
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− | Wiederholung:
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− | :* [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/i.html#WfunInv Steckbrief der Sinus- und Kosinusfunktion]
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− | <span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Am besten verwendest du hierfür dein Heft im Querformat. Formuliere eine Überschrift und übernehme alle mit gelb gekennzeichneten Texte. Natürlich darfst du dir aber auch noch zusätzlich Notizen machen.
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− | {{Merksatz|MERK=
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− | Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Sinusfunktion</span> lautet
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− | :<span style="background-color:yellow;"> '''<math> x\rightarrow a\cdot\sin(b\cdot x+c)+d </math>''' </span>.
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− | Entsprechend lautet die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Kosinusfunktion</span>
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− | :<span style="background-color:yellow;"> '''<math> x \rightarrow a\cdot \cos ( b\cdot x + c ) + d </math>''' </span>.
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− | Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Im Folgenden seien <math>\ a,b,c,d \in \R </math> und <math>a,b\neq 0</math>.}}
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− | <math> \rightarrow </math> ''Hinweis: Bei den GeoGebra-Applets ist die <math>\ x</math>-Achse mit Vielfachen von <math> \pi </math> beschriftet. Indem man die <math>\ x</math>-Achse mit der rechten Maustaste anklickt und "Eigenschaften" wählt, kann man auf die Einheit'' cm ''umstellen.''
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− | Arbeiten in Expertenteams {{versteckt|
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− | <graphviz>digraph G {
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− | node [URL="http://www.wikischool.de/wiki/\N"]
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− | "Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team A";
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− | "Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team B";
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− | "Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team C";
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− | "Einteilung in ABC-Expertenteams" -> "Team D";
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− | "Team A" -> "Untersuche den \n Einfluss von a!";
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− | "Team B" -> "Untersuche den \n Einfluss von b!";
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− | "Team C" -> "Untersuche den \n Einfluss von c!";
| |
− | "Team D" -> "Untersuche den \n Einfluss von d!";
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− | }
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− | </graphviz>
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− | }}
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− | {| class="wikitable"
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− | |- class="hintergrundfarbe5"
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− | ! style="background-color:#ffff00;" | Einfluss von <math> \ a </math> !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ b </math> !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ c </math> !! style="background-color:#ffff00;" |Einfluss von <math> \ d </math>
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− | |-
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− | Untersuche [[Einfluss von a|hier]] den Einfluss von
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− | :<math> \ a </math>
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− | auf die Graphen der Funktionen
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− | :<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>
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− | und
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− | :<math> x \rightarrow a\cdot \cos x </math>.
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− | Untersuche [[Einfluss von b|hier]] den Einfluss von
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− | :<math> \ b </math>
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− | auf die Graphen der Funktionen
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− | :<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
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− | und
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− | :<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.
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− | Untersuche [[Einfluss von c|hier]] den Einfluss von
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− | :<math> \ c </math>
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− | auf die Graphen der Funktionen
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− | :<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
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− | und
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− | :<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>.
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− | Untersuche [[Einfluss von d|hier]] den Einfluss von
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− | :<math> \ d </math>
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− | auf die Graphen der Funktionen
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− | :<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
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− | und
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− | :<math> x \rightarrow \cos x + d </math>.
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− | Arbeiten in Expertenteams {{versteckt|
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− | <graphviz>digraph G {
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− | node [URL="http://www.wikischool.de/wiki/\N"]
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− | "Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team 1";
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− | "Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team 2";
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− | "Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team 3";
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− | "Einteilung in 123-Expertenteams" -> "Team ...";
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− | "Team 1" -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
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− | "Team 2" -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
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− | "Team 3" -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
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− | "Team ..." -> "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d";
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− | "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
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− | "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
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− | "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
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− | "Austausch über den\n Einfluss von a, b, c, d" -> "Vervollständigen \n des Hefteintrages"; "Vervollständigen \n des Hefteintrages" -> "Bearbeiten der \n folgenden Aufgaben";
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− | }
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− | </graphviz>
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− | }}
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− | '''Sinus und Kosinus'''
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− | {{Arbeit|ARBEIT=
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− | Wie hängen die Sinus- und die Kosinusfunktion zusammen? Erstelle die Graphen
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− | der Funktionen <math>\,\!\sin(x+\frac{\pi}{2})</math> und <math>\,\!\cos(x)</math> und
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− | betrachte sie! Was fällt dir auf?}}
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− | ''Lösung:'' {{versteckt|
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− | Ja genau, die Graphen der beiden Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
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− | {{Merksatz|MERK=
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− | <span style="background-color:yellow;"> Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion indem man den Graphen der Sinusfunktion um <math>\frac{\pi}{2}</math> nach links verschiebt.
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− | Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
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− | }}
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− | </span>
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− | }}
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− | '''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''
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− | Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen heraus gefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.
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− | {{Arbeit|ARBEIT=
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− | # In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html Arbeitsblatt] kannst du die verschiedenen Parameter variieren und die Auswirkungen auf den Graphen beobachten. Bearbeite auch die darunter gestellten Aufgaben.
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− | #[http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_funerk3.html Funktionen erkennen]
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− | #[http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_grapherk3.html Graphen erkennen]
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− | }}
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− | ===Bestimmung einer Funktionsgleichung aus dem Graphen===
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− | Man kann dem Graphen einer Funktion ansehen, wie eine mögliche zugehörige Funktionsgleichung lautet. Öffne das folgende Applet und klicke in das leere Kontrollkästchen.
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− | <ggb_applet height="50" width="150" type="button" filename="sinusfunktion_2.ggb" /> <br>
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− | ===Anwendungen in der Physik===
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− | Wiederholung: [http://www.zum.de/dwu/pas002vs.htm Frequenz und Amplitude]
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− | [[bild:oszilloskop.jpg|center|300px]]
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− | {{Arbeit|ARBEIT=
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− | Auf einem Oszilloskop sieht man obiges Bild.
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− | * Was kann man dort ablesen?
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− | * Wie erhält man aus dem Bild die nötigen Informationen?<br>
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− | * Wie liest man aus der angezeigten Kurve Nullstellen, maximale Amplitude, Abstände, ... ab?
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− | }}
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− | {{Lösung versteckt|1=
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− | a) Die Sinuskurve ist um 0,75 nach oben verschoben.
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− | Der Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt der Sinuslinie ist 4,5, also ist die Amplitude 2,25.
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− | Die Periodendauer ist 3,75.
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− | Die Sinuskurve fängt mit 0,25 am linken Rand an.
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− | b) Es sind d = 0,75, a = 2,25, b = 2*PI/3,75 und c = -0,224.
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− | }}
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− | {{Arbeit|ARBEIT=
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− | * In dem Applet auf dieser [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/wellen/welle1.html Seite] wird gezeigt, wie man eine Schwingung darstellen kann. Mit dem Schieberegler für t kannst du die Schwingung darstellen. Überlege dir die gestellten Aufgaben und finde dann mit den angegebenen Größen y_max und T einen Funktionsterm für die zugehörige Sinusschwingung.
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− | * In dem Applet auf diesem [http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/1_sinusschwingung-allg.html Arbeitsblatt] werden die Parameter einer Sinusschwingung aus der Physik behandelt. Welche Parameter a,b,c,d entsprechen welchen physikalischen Größen a, f, phi_0?
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− | * In diesem [http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/ Lernpfad] zur harmonischen Schwingung findest du als Lernschritt 8 eine Aufgabe. Kannst du sie lösen? Fertige eine Zeichnung an! Finde die entsprechenden Größen a,b,c,d von a sin(b x + c)+d?
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− | Super! Nun hast du es geschafft und das Ende des Lernpfades erreicht.
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− | <span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Lese dir bitte deinen Hefteintrag durch und überprüfe kurz, ob du wirklich alle gelb hinterlegten Texte übernommen hast.
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− | Nun hast du es wirklich geschafft. Du kannst stolz sein - gut gemacht! Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!
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− | ===Zusatzaufgaben===
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− | {{Arbeit|ARBEIT=
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− | In dem unteren Bild sind der Graph der Sinusfunktion (rot) und ein weiterer Graph einer Sinusfunktion (schwarz) zu sehen.<br>
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− | * Du kennst die Nullstellen der Sinusfunktion. Wo sind sie?<br>
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− | * Stelle in der Zeichnung fest an welchen Stellen der Graph der schwarzen Funktion Nullstellen hat und notiere sie.<br>
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− | * Wo hat der Graph der schwarzen Funktion Hochpunkte/Tiefpunkte?<br>
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− | * Wo ist er streng monoton fallend/steigend?
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− | }}
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− | [[bild:sin(2x-2).jpg|center]]
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− | {{Lösung versteckt|1=
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− | a) Die Nullstellen der Sinusfunktion sind bei allen Vielfachen von PI, also x = k*PI.
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− | b) Die Nullstellen der "schwarzen" Funktion sind bei x = 1, 1+PI/2, 1+PI, ...
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− | c) Hochpunkte sind bei x = 1 + PI/4, 1 + 5/4*PI, ...<br>
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− | Tiefpunkte sind bei x = 1 - PI/4, 1 + 3/4*PI, ...
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− | d) Der Graph ist zwischen Tief- und Hochpunkt jeweils streng monoton steigend und zwischen Hoch- und Tiefpunkt jeweils streng monoton fallend.
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− | }}
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− | {{Arbeit|ARBEIT=
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− | * [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr5.html Hier] kannst beide Parameter c und d von sin(x+c)+d durch Verschieben des Graphen ändern und die Auswirkung auf den Funktionsterm betrachten. Übertrage deine Ergebnisse auf cos(x+c)+d.
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− | * In diesem [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr11.html Arbeitsblatt] sollst du die zu den Graphen gehörenden Funktionsterme finden.
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− | * Was fällt auf, wenn du [http://www.brichzin.de/unterricht/trigonometr_fkt/trigonometr10.html hier] für <math>\ b > 1</math> den Parameter <math>\ c</math> änderst?<br>
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− | * In dem Applet auf [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html dieser Seite] werden die Parameter <math>\ b</math> und <math>\ c</math> anders verwendet. Finde den Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen heraus.
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− | * Übertrage deine Ergebnisse auf a cos(bx+c)+d beziehungsweise a cos[b(x+c)]+d
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− | }}
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| [[zw:Trigonometrische Funktionen]] | | [[zw:Trigonometrische Funktionen]] |