Quadratische Funktionen - Bremsbeschleunigung

Einführung - Bremsweg - Unterschiedliche Straßenverhältnisse - Übungen 1 - Anhalteweg - Übungen 2 - Stationenbetrieb - Allgemeine quadratische Funktion - Übungen 3

Unterschiedliche Straßenverhältnisse

In dem Kapitel Bremsweg sind wir in den Aufgaben 1 und 2 davon ausgegangen, dass allein die Geschwindigkeit den Bremsweg beeinflusst. Das ist in der Realität natürlich nicht der Fall. In Aufgabe 3 aus dem Kapitel Bremsweg sind wir von unterschiedlichen Straßenverhältnissen ausgegangen. Aufgabe 3 sollte uns somit auf dieses Kapitel vorbereiten, denn: Bei gleicher Geschwindigkeit hat ein alter LKW auf schneeglatter Fahrbahn selbstverständlich einen ungleich längeren Bremsweg als ein neuer Kleinwagen auf einer trockenen und sauberen Straße. Diese Einflüsse kommen in der sogenannten Bremsbeschleunigung zum Ausdruck. Die Bremsbeschleunigung gibt an, wie stark ein Fahrzeug abgebremst wird: Eine hohe Bremsbeschleunigung spricht also für einen kurzen Bremsweg.

In einer Formel für den Bremsweg sollte also nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Bremsbeschleunigung berücksichtigt werden. In Lehrbüchern findet man die Formel:
              $s=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$     (s = Bremsweg in m, v = Geschwindigkeit in m/s und a_B = Bremsbeschleunigung in m/s²).

In dem folgenden GeoGebra-Applet kann der Bremsweg mit Hilfe der beiden Schieberegler oben links variiert werden.
Hinweis: Der Einfachheit halber wurde der obige Zusammenhang so verändert, dass die Geschwindigkeit in km/h angegeben wird.

 

Aufgabe 1  Wie muss aB gewählt werden, damit ... ...bei der Geschwindigkeit von 90 km/h der Bremsweg 65 m lang ist? ...bei der Geschwindigkeit von 90 km/h der Bremsweg 37 m lang ist? ...bei der Geschwindigkeit von 51 km/h der Bremsweg 55 m lang ist? Nutze zur Lösung der Aufgabe das obere Applet. Um die Werte exakt einstellen zu können, klicke den Schieberegler an und verwende dann die Pfeiltasten.

Wenn wir die bisherigen Überlegungen verallgemeinern wollen, müssen wir unsere Gleichung für den Bremsweg genauer analysieren. Zunächst stellen wir fest, dass es eine funktionale Abhängigkeit des Bremsweges von der Geschwindigkeit gibt; wir können unsere Formel als Funktionsgleichung schreiben:
$s(v)=\frac{1}{2a_\mathrm{B}}\cdot v^2$. Die rechte Seite der Funktionsgleichung besteht aus dem Vorfaktor $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ und dem Quadrat der Variablen.
Besonders interessant ist dabei der Einfluss des Vorfaktors auf den Verlauf des Graphen:

Aufgabe 2  Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn der Vorfaktor von v2, d.h. wenn $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ kleiner bzw. größer wird?

Merksatz: (Rein-)Quadratische Funktionen

Die Funktionen, die wir bis jetzt betrachtet haben, weisen eine Gemeinsamkeit auf: Ihr Funktionsterm hat die Form ax². Sie zählen daher zu den quadratischen Funktionen. Die Graphen quadratischer Funktionen unterscheiden sich stark von den Graphen linearer Funktionen. Merke: Die Graphen von Funktionen mit der Funktionsgleichung $f(x)=ax^2$ heißen Parabeln. Sie sind symmetrisch zur y-Achse. Der Punkt $S(0\!\,|\!\,0)$ heißt Scheitel der Parabel und ist der tiefste Punkt. Ist $a = 1$ heißt der Graph Normalparabel.   Aufgabe 3  Untersuche an dem Applet rechts nun systematisch den Einfluss von a auf den Verlauf des Graphen: Was passiert, wenn... ...a größer als 1 ist? ...a zwischen 0 und 1 liegt? ...a 0 ist? ...a negativ ist? Vergleiche mit dem Graphen der Funktion g mit g(x)=x².

Das Applet zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = ax². Hierbei steht a für eine beliebige reelle Zahl (nicht mehr für die Bremsbeschleunigung!). Mit Hilfe des Schiebereglers (unten links im Applet) kannst du den Wert für a variieren.

Lösung zur Aufgabe 1:

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1. a_B = 4,8 m/s²
2. a_B = 8,4 m/s²
3. a_B = 1,8 m/s²

Lösung zur Aufgabe 2:

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$\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ wird kleiner, wenn a_B größer wird. Wenn a_B größer wird, verläuft der Graph flacher.

Entsprechend wird $\frac{1}{2a_\mathrm{B}}$ größer, wenn a_B kleiner wird. Wenn a_B kleiner wird, verläuft der Graph steiler.

Lösung zur Aufgabe 3:

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1. Ist a>0, dann ist die Parabel enger (gestreckt) als die Normalparabel.
2. Für 0< a < 1 ist die Parabel weiter (gestaucht) als die Normalparabel.
3. Für a=0 gilt: f(x) = 0 x x² <=> f(x)=0. Der Funktionsgraph für a=0 liegt somit auf der x-Achse.
4. Ist a negativ, so wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt. Sie ist also nach unten geöffnet.

Schreibe dir nun die neuen Erkenntnisse, die du in diesem Kapitel erworben hast auf und versuche sie auch mit Hilfe deines Partners zu verstehen! Was ist an Stoff neu hinzugekommen, was war bereits bekannt? Mache dir Gedanken.

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Als nächstes kannst du prüfen, ob du bis jetzt alles verstanden hast.   Hier geht es weiter.