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Aufgabe xy  Wann ist ein Sektglas halb voll? Ein Sektglas ist kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³) 1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll? Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll. Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe. a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an. b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r. c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an. d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf. e) Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h. 2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist. Es ist $V_0=209,44cm^3$. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten $\frac{V}{V_0}$ an, den wir mit $q = \frac{V}{V_0}$ bezeichnen. a) Leite aus $V = \frac{1}{3}r^2 \pi h$ die Formel her. b) Gib für die Funktion $h: q \rightarrow h(q)$ die Funktionsgleichung, die Definitions- und die Wertemenge an. Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $q = \frac{V}{V_0}$ angegeben. c) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

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1a) $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

1b) $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

1c) Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3$

1d)

1e) $h = 6,25 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

2a) $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$, wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.
Nach h auflösen: $h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}$

2b) $h(q) = 8 \sqrt[3]{q}$; $D=[0;1]$ und $W = [0;8]$

2c) 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm

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2

$-0,5 \cdot \sin [2x]$$2 \cdot \sin [x]$sin [x]$-\cos [\frac{x}{2}]$cos [x]$\cos[x+\frac{\pi}{4}]$

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Memory

$-0,5 \cdot \sin (2x)$ $-\cos \frac{x}{2}$ $\cos(x+\frac{\pi}{4})$ $2 \cdot\sin x$ $\cos x$ $\sin x$