Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 2. Januar 2012, 18:24 Uhr

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Aufgabe 1

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

a) $f:x \rightarrow x^2$ in $R^+$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ in [0;1]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [0;3]

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Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Merke

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Aufgabe 2

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen

a) $f:x \rightarrow x^2$ in $R^-$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ in [2;3]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [-3;0]

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Merke

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Hier wird nochmals der Begriff Monotonie erklärt:

Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Merke

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Aufgabe 3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.

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