Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 3. Januar 2012, 08:54 Uhr

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Aufgabe 1

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

a) $f:x \rightarrow x^2$ in $R^+$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ in [0;1]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [0;3]

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Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Merke

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Aufgabe 2

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen

a) $f:x \rightarrow x^2$ in $R^-$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ in [2;3]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ in [-3;0]

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Merke

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Hier wird nochmals der Begriff Monotonie erklärt:

Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Merke

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Aufgabe 3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Für die folgende Multiple-Choice-Aufgabe kannst du als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.

Aufgabe 3

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion $f: x \rightarrow rx^2 - 2$

im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
im Intervall [1;3] monoton abnehmend ist.
im Intervall [-2,5;-1] monoton zunehmend ist.
im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

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 </div>
+{{Arbeiten|
+NUMMER=3|
+ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow rx^2 - 2</math> <br>
+# im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
+# im Intervall [1;3] monoton abnehmend ist.
+# im Intervall [-2,5;-1] monoton zunehmend ist.
+# im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
+# im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.
+<ggb_applet width="566" height="370"  version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAPQ9I0AAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAPQ9I0AAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vjrb9s2EP/c/hUHfWqH2ib1slzYLdYCxQKk3YB0w7APAyiJttlIoiZSfhT943ckJVlOH0iToR1qxOHreM/fHS9ZPj+UBex4o4SsVh6dEg94lclcVJuV1+r1JPGeP3u43HC54WnDYC2bkumVFxpKka88FiRzQpP5JAx4PAkJ4ZNkHpJJHCZxukizRURiD+CgxNNKvmElVzXL+FW25SW7lBnTVvBW6/rpbLbf76e9qKlsNrPNJp0eVO4BqlmplddNniK7s0v7wJL7hNDZn68vHfuJqJRmVcY9MCa04tnDB8u9qHK5h73I9XblRfPQgy0Xm62xaZF4MDNENTqk5pkWO67w6mhpbdZl7VkyVpnzB24GxWCOB7nYiZw3K49MgzAJA59EKGtB/WSBEmUjeKU7YtoJnfXsljvB946vmVmReElLWaTMsIQPH8AnPoEnZqBu8HGIY3dE3B4J3OC7IXRD5GhCdz10pKGjCR1NGHiwE0qkBV95a1YodKGo1g2Gb1grfSy41afbOJlPn6BNSrxH4oAgTpzPcZ+QJ+Yb4zc0B7NzI+lIqm7arxTai4zi+PYi/XsZGvQy/U+Z6UefMTP+glBn923spNFIJoqyP/b7kcTgS2belOjW9xMYh9/ExOWsT5Vllx2gtoa2Q4/mpTL5EiwgWhjYU4gwN+I5ojwCusBh7gNmA9AIwgiXNIHYjHMI5ngQQgAJGDoagE2OKMFf4dwyiyFCZmZ3jjkJFAWFEAVAbU6FgJkENi8xR/0AKaIIIrxkxFPfsAhiCGNcBQmEqKNJyTlFwgAv4hrF+xBQCMxlOgc/htjwo6FJ9TgxqiNLH2ICMTUMMasxo102I30CgbEm7twlqrrVZy7KyryfalkPsUBqrEensufq01lVfLAsWMoLfCiuTCQBdqwwGWEFrWWloQ+i7/Y2Dau3IlNXXGu8peAd27FLpvnhFVKrXralzWSlfmukfimLtqwUQCYLMugsCzqa+4PWuAhGB+H4IBodxKP5/JNyJZ5AqzjKl43qyVmeXxiKU2lAT/5aFccXDWfXtRTnZixn9s1Z8jYrRC5Y9QeC1UgxfoHhCTLlqn+CgtDvFZFNfnVUiGA4/MUbiTUmDqeL8Qdz7OiOaEimZPwxhSljJvnCxfmlBKUdP3fmZPPdECJ24IP1m8Zkdme5WVyoF7I4bVn7X7Jat43tHlCHxlj1c7UpuMWILbf4NGfXqTxcOXAEjtfbY40r4hRIN9bvgLXBjyIk6MbUjZbGaDZQEUtDLAXp0Sby4ZwufEthx9SNlgrh61TrLKW9mZT0YoSyFY14Z3ljsW8e+rYS+rJfaJFdd5ZSR/+mLVM+IOicJf2PWC5nNxC2vOZNxYsO0BjJVrbK5ecI6znPRIlLd9A5hJlg/Y4KuN2cbxre613Yvsy5y56SMVY/2rasXjWyvKh2bxEJNxRYznotlyprRG0AByk+Atf8hKlcKIZvSD6+ZzIQTc/MW4Hu0cY1mJut3srGtl5YUnA0iVfwEvss0BZcVVvyRmSDoxvbw6FSbae36X6t5sbLINN3WOtuBOcURTz+DPyAFfWWmc6PdiBjR96cucZyey3zXnAntjAtI5QCn8AJwr1kBywPyC9VWAY1Ns0Yi+rUNDvNujKCDYdpyQ+m5TKTo3kwzWQtDiOHoo/Ee8QEOzPmlAYaK/Q1tqHK5qrustJOfhF5zqtBW1YhemwMsEjVzlzA94E7ZA9XazTf1oNR5LvAmBAd6galGTadi9f4F8jBvESPDo9hBQ38BIe/H/mPYQK+e5jOw7puKwsF78TgyzEcpcBtgkhuGURyV1eeuePMNMNrUJvdx6yIuroXBXe37O4B70qEMuikHTgtNt8j0IesuwsI+T+Vu6JciRRlXYhM6K/wa/qD+jX4zn7N7uNXStxDbfz7//KrP42+q1vzH9Ot36QKzMatg+3Pu/81PfsXUEsHCMyFi3W1BQAACBMAAFBLAQIUABQACAAIAPQ9I0DWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgA9D0jQMyFi3W1BQAACBMAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAABMBgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+}}
+{{Lösung versteckt|
+# r > 0
+# r < 0
+# r < 0
+# r > 0
+# es gibt kein r }}
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