Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. Januar 2012, 11:14 Uhr

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Aufgabe 1

Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.

a) $f:x \rightarrow x^2$ für $x \in R^+$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ im Intervall [0;1]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ im Intervall [0;3]

</center

Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.

Merke:

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Aufgabe 2

Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen

a) $f:x \rightarrow x^2$ für $x \in R^-$

b) $f:x \rightarrow sin(x)$ im Intervall [2;3]

c) $f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1$ im Intervall [-3;0]

Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.

Merke:

Eine Funktion $f$ heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Hier wird nochmals der Begriff Monotonie erklärt:

Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.

Merke:

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton zunehmend ist,
d.h.für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Eine Funktionsgraph $G_f$ heißt streng monoton fallend im Intervall [a;b], wenn die Funktion $f$ dort streng monoton abnehmend ist,
d.h. für alle $x_1,x_2 \in [a;b]$ gilt: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Aufgabe 3

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Aufgabe 4

Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!

Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten.

Aufgabe 5

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion $f: x \rightarrow rx^2 - 2$ so, dass $f$

im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist.
im Intervall [1;3] monoton abnehmend ist.
im Intervall [-2,5;-1] monoton zunehmend ist.
im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 5

Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion $f: x \rightarrow sin(rx) + 1$ so, dass $f$

im Intervall [ $\frac{\pi}{2};\pi$ ] monoton zunehmend ist.
im Intervall [ $\frac{\pi}{2};\pi$ ] monoton abnehmend ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

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@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br>
-a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
+a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center>
-b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
+b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
-c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center
+c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center
 Was fällt dir auf?
@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
 Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen
 </center>
-a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> in <math>R^-</math>  <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
+a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^-</math>  <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br>
-b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> in [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
+b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg‎]]</center>
-c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> in [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
+c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center>
 Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam?
@@ Zeile 145: / Zeile 145: @@
 # im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist.
 # im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist.
+<center>
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+</center>
 }}
@@ Zeile 162: / Zeile 162: @@
 # im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton zunehmend ist.
 # im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton abnehmend ist.
+<center>
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