Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Mai 2012, 17:13 Uhr

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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge $a$ hat das Volumen $V = a^3$ .

Ist die Seitenlänge $a = 3 cm$ , dann ist also das Volumen $V = 27 cm^3$ .
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen $V= 27 cm^3$ die zugehörige Seitenlänge $a= 3 cm$ .

Aufgabe 18

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge $a$ eines Würfels das Volumen $V$ zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten ( $a| V$ ). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für $a$ einstellen.

a) Welches Volumen $V$ ergibt sich für $a$ = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge $a$ das Volumen $V$ eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt $V$ für $a$ = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen $V$ die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen $a$ im Applet ab und ergänze deine Tabelle!

Wie kannst du die Seitenlänge $a$ bei gegebenem Volumen $V$ berechnen?
[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$a = V^{\frac{1}{3}}$

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): a = \sqrt[3]{V}\

Merke

Die Gleichung $a = x^n$ hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung

$x = a^{\frac{1}{n}}$ oder Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): x = \sqrt[n]{a}\

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \sqrt[n]{a}\

heißt die n-te Wurzel aus a.

Aufgabe 19

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar ( $V$ entspricht der x-Achse, $a$ entspricht der y-Achse)!

Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl $n$ die allgemeine Wurzelfunktion $n$ -ten Grades oder $n$ -te Wurzelfunktion definiert mit
Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

mit  und .

Aufgabe 20

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!

Aufgabe 21

Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\

Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?

Aufgabe 18: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 1, 3,375; 8; 15,625
b) $V = a^3$
c) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Aufgabe 19: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a)
b)
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Aufgabe 20: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}$ mit $D = R^+_0$

Aufgabe 21: [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.

2. (0;0 und (1;1)

Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit Übungen und Anwendungen.

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
-{{Arbeiten|NUMMER=15| ARBEIT=
+{{Arbeiten|NUMMER=18| ARBEIT=
 Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
 <br>
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
-{{Arbeiten|NUMMER=16| ARBEIT=
+{{Arbeiten|NUMMER=19| ARBEIT=
 a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte
 sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
-{{Arbeiten|NUMMER=17|
+{{Arbeiten|NUMMER=20|
 ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!}}
-{{Arbeiten|NUMMER=18|
+{{Arbeiten|NUMMER=21|
 ARBEIT=
 # Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math>
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
-Aufgabe 15: {{Lösung versteckt|
+Aufgabe 18: {{Lösung versteckt|
 a) 1, 3,375; 8; 15,625<br>
 b) <math>V = a^3</math><br>
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 }}
-Aufgabe 16: {{Lösung versteckt|
+Aufgabe 19: {{Lösung versteckt|
 Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 [[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
-Aufgabe 17: {{Lösung versteckt|
+Aufgabe 20: {{Lösung versteckt|
 <math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>D = R^+_0</math>}}
-Aufgabe 18: {{Lösung versteckt|
+Aufgabe 21: {{Lösung versteckt|
 . Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
 <ggb_applet width="706" height="322"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>

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