Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br> | Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben. <br> | ||
| − | a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> | + | a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^+</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion.jpg]]</center> |
| − | b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> | + | b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [0;1] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg]]</center> |
| − | c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> | + | c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [0;3] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion.jpg]]</center> |
Was fällt dir auf? | Was fällt dir auf? | ||
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Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn. | Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn. | ||
| − | {{ | + | {{Merksatz|MERK= |
Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math> | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton zunehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math> | ||
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Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen | Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen | ||
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| − | a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> | + | a) <math>f:x \rightarrow x^2</math> für <math>x \in R^-</math> <center>[[datei:Monotonie_quadratfunktion2.jpg]]</center><br> |
| − | b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> | + | b) <math>f:x \rightarrow sin(x)</math> im Intervall [2;3] <center>[[datei:Montonie_sinusfunktion.jpg]]</center> |
| − | c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> | + | c) <math>f:x \rightarrow -\frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2-1</math> im Intervall [-3;0] <center>[[datei:Monotonie_kubikfunktion2.jpg]]</center> |
Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? | Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? | ||
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Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn. | Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn. | ||
| − | {{ | + | {{Merksatz|MERK= |
Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math> | Eine Funktion <math> f</math> heißt '''streng monoton abnehmend''' im Intervall [a;b], wenn für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)</math> | ||
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| − | + | In diesem Video wird nochmals der Begriff '''Monotonie''' erklärt: | |
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| + | <center>{{#ev:youtube |rsLOKo6iwqs|350}}</center> | ||
Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''monoton steigend''' und '''monoton fallend'''. | Man könnte diese Begriffe '''monoton zunehmend''' und '''monoton abnehmend''' auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings '''monoton steigend''' und '''monoton fallend'''. | ||
| − | {{ | + | {{Merksatz|MERK= |
Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br> | Eine Funktionsgraph <math> G_f</math> heißt '''streng monoton steigend''' im Intervall [a;b], wenn die Funktion <math>f</math> dort streng monoton zunehmend ist, <br> | ||
d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math> | d.h.für alle <math> x_1,x_2 \in [a;b]</math> gilt: <math>x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)</math> | ||
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| + | Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! | ||
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| + | Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten. | ||
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<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
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{{Arbeiten| | {{Arbeiten| | ||
| − | NUMMER= | + | NUMMER=5| |
ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow rx^2 - 2</math> so, dass <math> f</math><br> | ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow rx^2 - 2</math> so, dass <math> f</math><br> | ||
# im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist. | # im Intervall [1;3] monoton zunehmend ist. | ||
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# im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist. | # im Intervall [-2,5;-1] monoton abnehmend ist. | ||
# im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist. | # im Intervall [-1;1] monoton zunehmend ist. | ||
| − | + | <center> | |
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| − | + | </center> | |
}} | }} | ||
| Zeile 151: | Zeile 157: | ||
{{Arbeiten| | {{Arbeiten| | ||
| − | NUMMER= | + | NUMMER=5| |
ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow sin(rx) + 1</math> so, dass <math> f</math><br> | ARBEIT= Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion <math> f: x \rightarrow sin(rx) + 1</math> so, dass <math> f</math><br> | ||
# im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton zunehmend ist. | # im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton zunehmend ist. | ||
# im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton abnehmend ist. | # im Intervall [<math> \frac{\pi}{2};\pi</math>] monoton abnehmend ist. | ||
| + | <center> | ||
| + | <ggb_applet width="566" height="260" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
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# <math>1 \le x \le 1,5</math> oder <math>-0,5 \le x \le 0</math> | # <math>1 \le x \le 1,5</math> oder <math>-0,5 \le x \le 0</math> | ||
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Aktuelle Version vom 31. Mai 2012, 14:53 Uhr
zurück zu Eigenschaften von Funktionen
Aufgabe 1
Betrachte die folgenden Funktionen im angegebenen Intervall. Die Funktionen sind durch Funktionsterm und Graph gegeben.  für    im Intervall [0;1]   im Intervall [0;3]  Was fällt dir auf? Was haben die drei Funktionsgraphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? |
Alle drei Funktionsgraphen "steigen" in dem angegebenen Intervall an.
Dieser Begriff des Ansteigens eines Funktionsgraphen fassen wir genauer und benennen ihn.
 Merke:
Eine Funktion |
heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle ![x_1,x_2 \in [a;b]](/images/math/4/8/9/489a4ad3c2410297428c10a130e7cc95.png)
gilt: 
Aufgabe 2
Betrachte die folgenden Funktionen in den angegebenen Intervallen Quadratfunktion in den angegebenen Intervallen </center> a) für   b) im Intervall [2;3] im Intervall [-3;0]  Was stellst du nun fest? Was haben alle drei Graphen in den angegebenen Intervallen gemeinsam? |
Alle drei Funktionsgraphen "fallen" in dem angegebenen Intervall.
Auch diesen Begriff des Fallens eines Funktionsgraphen fassen wir - analog zu oben - genauer und benennen ihn.
| Merke:
Eine Funktion |
In diesem Video wird nochmals der Begriff Monotonie erklärt:
Man könnte diese Begriffe monoton zunehmend und monoton abnehmend auch für die Funktionsgraphen übernehmen, hier verwendet man allerdings monoton steigend und monoton fallend.
| Merke:
Eine Funktionsgraph Eine Funktionsgraph |
heißt streng monoton steigend im Intervall [a;b], wenn die Funktion
Aufgabe 3
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! |
(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)
(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)
(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)
(!streng monoton steigend) (streng monoton fallend) (!weder noch)
(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)
(!streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (weder noch)
(streng monoton steigend) (!streng monoton fallend) (!weder noch)
Aufgabe 4
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! Du kannst als Hilfe GeoGebra öffnen, dir die Graphen der Funktionen zeichnen lassen und dann die Fragen beantworten. |
im Intervall [2;8]
(streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
im Intervall [
]
(!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)
im Intervall [-1;4]
(streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
im Intervall [-1;4]
(streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
im Intervall [-1;4]
(!streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (weder noch)
im Intervall [2;8]
(streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
mit 
im Intervall [-4;-1]
(!streng monoton zunehmend) (streng monoton abnehmend) (!weder noch)
mit 
im Intervall [-3;9]
(streng monoton zunehmend) (!streng monoton abnehmend) (!weder noch)
Aufgabe 5
Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion
|
so, dass
- r > 0
- r < 0
- r < 0
- r > 0
- es gibt kein r
Aufgabe 5
Bestimme die Parameterwerte r, für die die Funktion
|
so, dass 
] monoton zunehmend ist.
-
oder 
-
oder 
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