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Version vom 25. Juni 2012, 16:42 Uhr

Aufgabe xy

Wann ist ein Sektglas halb voll?

Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 2,5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,639 cm ist das Glas mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

Nun interessiert die Frage, wann ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

1. Gib eine Formel für das Volumen mit Füllhöhe h an.

2. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

3. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

4. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

5. Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h.

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $\frac{V}{V_0}$ angegeben.

6. Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1. $V = \frac{1}{3}r^2\pi h$

2. $\frac{h}{H}=\frac{r}{R}$

3. Mit $r = \frac{hR}{H}$ ergibt sich $V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3} \frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3$ , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist.

4. Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}

oder Fehler beim Parsen(Syntaxfehler):  h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}

5. $h = H \sqrt[3]{\frac{1}{2}}=0,7937H\approx 0,8H = 6,4 cm$

Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.

6. 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm

2

$\cos[x+\frac{\pi}{4}]$ $-0,5 \cdot \sin [2x]$ $-\cos [\frac{x}{2}]$ cos [x]sin [x] $2 \cdot \sin [x]$

4

Memory

$2 \cdot\sin x$ $-\cos \frac{x}{2}$ $\cos(x+\frac{\pi}{4})$ $-0,5 \cdot \sin (2x)$ $\sin x$ $\cos x$

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten <math>\frac{V}{V_0}</math> angegeben.
+<center>
-<ggb_applet width="449" height="520"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
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 . Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

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