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Version vom 28. Juni 2012, 14:55 Uhr

Aufgabe xy

Wann ist ein Sektglas halb voll?

Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)

1. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?
Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.

Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.

a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.

b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.

c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.

d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.

e) Bestimme zu $V = \frac{1}{2}V_0$ die passende Höhe h.

2. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0} , wobei $V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H$ das Glasvolumen ist. Es ist $V_0=209,44cm^3$ . Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten $\frac{V}{V_0}$ an, den wir mit $q = \frac{V}{V_0}$ bezeichnen.

a) Leite aus $V = \frac{1}{3}r^2 \pi h$ die Formel Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}

her.

Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten $q = \frac{V}{V_0}$ angegeben.

b) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

2

$\cos[x+\frac{\pi}{4}]$ $2 \cdot \sin [x]$ sin [x] $-0,5 \cdot \sin [2x]$ cos [x] $-\cos [\frac{x}{2}]$

4

Memory

$-0,5 \cdot \sin (2x)$ $-\cos \frac{x}{2}$ $\cos(x+\frac{\pi}{4})$ $\sin x$ $2 \cdot\sin x$ $\cos x$

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 Ein Sektglas ist oben kegelförmig. Der Radius R der Deckfläche ist 5 cm, die Höhe H des Kegels 8 cm. Bei der Füllhöhe h = 7,88 cm ist das Glas genau mit 0,2 l gefüllt. (1 l = 1 dm³)
-Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?<br>
+. Nun interessiert die Frage, bei welcher Höhe ist das Glas halb voll?<br>
 Dabei verstehen wir unter halb voll, dass das Glas das halbe Volumen, also 0,1l enthalten soll.
 Mit h bezeichnen wir die Füllhöhe.
-. Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.
+a) Gib eine Formel für das Volumen V mit Füllhöhe h an.
-. Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.
+b) Bestimme mit Hilfe des Strahlensatzes einen Zusammenhang zwischen h, H , R und r.
-. Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.
+c) Gib nun eine Abhängigkeit des Volumens von h an.
-. Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.
+d) Löse dein Ergebnis aus 3. nach h auf.
-. Bestimme zu <math>V = \frac{1}{2}V_0</math> die passende Höhe h.
+e) Bestimme zu <math>V = \frac{1}{2}V_0</math> die passende Höhe h.
-Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als <math>h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}</math>, wobei <math>V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H</math> das Glasvolumen ist. Es  ist <math>V_0=209,44cm^3</math>. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten <math>\frac{V}{V_0}</math> an, den wir mit <math>q = \frac{V}{V_0}</math> bezeichnen.
+. Die Abhängigkeit der Füllhöhe vom Volumen kann man auch schreiben als <math>h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}</math>, wobei <math>V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H</math> das Glasvolumen ist. Es  ist <math>V_0=209,44cm^3</math>. Es kommt im wesentlichen auf den Quotienten <math>\frac{V}{V_0}</math> an, den wir mit <math>q = \frac{V}{V_0}</math> bezeichnen.
-. Leite aus <math> V = \frac{1}{3}r^2 \pi h</math> die Formel <math>h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}</math> her.
+a) Leite aus <math> V = \frac{1}{3}r^2 \pi h</math> die Formel <math>h = H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}</math> her.
 Im folgenden Applet ist die Füllhöhe h als Funktion des Quotienten <math>q = \frac{V}{V_0}</math> angegeben.
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 <ggb_applet width="449" height="520"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center><br>
-. Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.
+b) Bestimme graphisch und rechnerisch bei welcher Höhe h das eingefüllte Volumen 25%, 40%, 75% des Glasvolumens ist.
 }}
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 {{Lösung versteckt|
 [[Bild:Sektglas_strahlensatz.jpg|right|150px]]
-. <math> V = \frac{1}{3}r^2\pi h</math>
+a) <math> V = \frac{1}{3}r^2\pi h</math>
-. <math>\frac{h}{H}=\frac{r}{R}</math>
+b) <math>\frac{h}{H}=\frac{r}{R}</math>
-. Mit <math> r = \frac{hR}{H}</math> ergibt sich <math> V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
+c) Mit <math> r = \frac{hR}{H}</math> ergibt sich <math> V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}
 \frac{R^2}{H^2}\pi h^3 </math>
-. <math> h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}</math>
+d) <math> h = \sqrt[3]{\frac{3VH^2}{R^2 \pi}</math>
-. <math> h = 6,25 cm</math>
+e) <math> h = 6,25 cm</math>
 Ein kegelförmiges Sektglas ist also bei rund 80% der Füllhöhe halb voll.
-. <math> V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3</math>, wobei <math>V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H</math> das Glasvolumen ist. <br>
+a) <math> V = \frac{1}{3} (\frac{hR}{H})^2\pi h = \frac{1}{3}\frac{R^2}{H^2}\pi h^3 = \frac{1}{3}R^2\pi H \frac{h^3}{H^3}=V_0 (\frac{h}{H})^3</math>, wobei <math>V_0 = \frac{1}{3}R^2\pi H</math> das Glasvolumen ist. <br>
 Nach h auflösen: <math> h =H \sqrt[3]{\frac{V}{V_0}}</math>
-. 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm
+b) 5,0 cm; 5,9 cm; 7,3 cm
 }}

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