Quadratische Funktionen 2 - Köln-Arena: Unterschied zwischen den Versionen

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= Die Köln-Arena =
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Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Lanxess_Arena Köln-Arena] wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung <math> f(x) = a x^2 +c</math> beschreiben. <br>
 
Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Lanxess_Arena Köln-Arena] wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung <math> f(x) = a x^2 +c</math> beschreiben. <br>
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Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion <math>f(x) = a x^2 + c</math>.  
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Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion <math>f(x) = a x^2 + c</math>. }}
  
  
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a = -0,15, c = 2,1, also <math>f(x) = -0,15 x^2 + 2,1</math> }}
 
a = -0,15, c = 2,1, also <math>f(x) = -0,15 x^2 + 2,1</math> }}
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{{Merke|
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#Der Koeffizient von <math>x^2</math> auch negativ sein kann. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel.
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#Der Koeffizient von <math>x^2</math> kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt.
 
#Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm <math>ax^2 + c</math> }}  
 
#Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm <math>ax^2 + c</math> }}  
  
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Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion hat dann allerdings die Funktionsgleichung <math>f(x) = a x^2 + bx + c</math> mit den Parameter a, b, c.<br>
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Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion kann man dann mit der Funktionsgleichung <math> f(x) = a(x - d)^2 + e</math> schreiben, wobei a, d und e reelle Parameter sind.  
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Finde mit Hilfe des Applets die Werte für a, b und c.
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Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben.  
  
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Finde die Parameter a, d, e.}}
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a = -0,15, b = 1,45, c = 0,8, also <math>f(x) = -0,15 x^2 +1,45x + 0,8</math> }}
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Durch [[Quadratische_Funktionen_2_-_quadratische_Ergänzung|quadratische Ergänzung]] kannst du den Funktionsterm <math>a x^2 + bx + c</math> auf die Form <math> a(x-d)^2 + e</math> bringen. Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben. Finde die Parameter a, d, e.
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{{Lösung versteckt|1=
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{{Aufgabe|
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# Was kannst du über die Parameter a, b, c in <math> f(x) = a x^2 + bx + c</math> aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt?
 
 
# Was kannst du über die Parameter a, d, e in <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt?
 
# Was kannst du über die Parameter a, d, e in <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt?
 
# Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet?
 
# Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet?
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{{Lösung versteckt|1=  
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# d = 0
 
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# a < 0
 
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# a > 0 }}
  
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Betrachte nun dieses Applet, in dem der Scheitel der Parabel mit eingezeichnet ist. Was fällt dir auf, wenn du den Funktionsterm und die Scheitelkoordinaten betrachtest?
  
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<ggb_applet height ="500" width="900"
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{{Aufgabe|
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1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest?<br>
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2. Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!}}
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{{Lösung versteckt|1=
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1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein.
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2. x = 4,85, y = 4,3 }}
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{{Merke|1=
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Aus dem Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> der quadratischen Funktion f mit <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen. <br>
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Es ist x = d und y = e.<br>
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Der Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> ist die sogenannte '''Scheitelform der quadratischen Funktion'''.}}
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{{Aufgabe|1=
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Parameter gesucht! Je einer der Parameter a,  d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!<br>
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Der Scheitel ändert sich nicht, falls <strong> a </strong> varriert wird. <br>
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Variiert man <strong> d </strong>, so verändern sich der Scheitel und eventuell die Nullstellen, aber nicht die Wertemenge.<br>
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Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird <strong> e </strong> variiert.
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<div class="lueckentext-quiz">
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Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt <strong> Parabel </strong>. Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur <strong> Normalparabel</strong>.<br>
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Quadratische Funktionen mit <strong>d = 0</strong> liegen <strong>symmetrisch </strong> zur <strong>y-Achse</strong>.<br>
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Der Punkt S (d;e) heißt <strong>Scheitel </strong>.<br>
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Für a>0 gilt: Je <strong>größer </strong>  a ist, desto steiler  ist die Parabel.  <br>
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Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto <strong> weiter </strong> ist die Parabel.  <br>
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Aktuelle Version vom 23. November 2016, 06:58 Uhr

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Die Köln-Arena

Die Köln-Arena wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung f(x) = a x^2 +c beschreiben.


Stift.gif   Aufgabe

Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion f(x) = a x^2 + c.



a = -0,15, c = 2,1, also f(x) = -0,15 x^2 + 2,1
Nuvola apps kig.png   Merke
  1. Der Koeffizient von x^2 kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt.
  2. Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm ax^2 + c

Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion kann man dann mit der Funktionsgleichung f(x) = a(x - d)^2 + e schreiben, wobei a, d und e reelle Parameter sind. Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben.

Stift.gif   Aufgabe

Finde die Parameter a, d, e.



a= -0,15, d = 4,85, e = 4,3, also f(x) = -0,15(x - 4,85)^2 + 4,3


Stift.gif   Aufgabe
  1. Was kannst du über die Parameter a, d, e in f(x) = a (x - d)^2 + e aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt?
  2. Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet?
  3. Für welche Werte von a ist die Parabel nach oben geöffnet?

  1. d = 0
  2. a < 0
  3. a > 0

Betrachte nun dieses Applet, in dem der Scheitel der Parabel mit eingezeichnet ist. Was fällt dir auf, wenn du den Funktionsterm und die Scheitelkoordinaten betrachtest?


Stift.gif   Aufgabe

1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest?
2. Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!

1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein.

2. x = 4,85, y = 4,3
Nuvola apps kig.png   Merke

Aus dem Funktionsterm a (x - d)^2 + e der quadratischen Funktion f mit f(x) = a (x - d)^2 + e kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen.
Es ist x = d und y = e.
Der Funktionsterm a (x - d)^2 + e ist die sogenannte Scheitelform der quadratischen Funktion.


Stift.gif   Aufgabe

Parameter gesucht! Je einer der Parameter a, d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!
Der Scheitel ändert sich nicht, falls a varriert wird.
Variiert man d , so verändern sich der Scheitel und eventuell die Nullstellen, aber nicht die Wertemenge.
Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird e variiert.


Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt Parabel . Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur Normalparabel.
Quadratische Funktionen mit d = 0 liegen symmetrisch zur y-Achse.
Der Punkt S (d;e) heißt Scheitel .
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto weiter ist die Parabel.

Maehnrot.jpg Als nächstes wollen wir untersuchen, welchen Einfluss die Parameter a, d und e in der Funktionsgleichung f(x) = a (x - d)^2 + c auf den Graphen haben.

Pfeil.gif   Hier geht es weiter.

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