Quadratische Funktionen 2 - Köln-Arena: Unterschied zwischen den Versionen
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Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Lanxess_Arena Köln-Arena] wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung <math> f(x) = a x^2 +c</math> beschreiben. <br> | Die [http://de.wikipedia.org/wiki/Lanxess_Arena Köln-Arena] wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung <math> f(x) = a x^2 +c</math> beschreiben. <br> | ||
| − | Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion <math>f(x) = a x^2 + c</math>. | + | |
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| + | Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion <math>f(x) = a x^2 + c</math>. }} | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
a = -0,15, c = 2,1, also <math>f(x) = -0,15 x^2 + 2,1</math> }} | a = -0,15, c = 2,1, also <math>f(x) = -0,15 x^2 + 2,1</math> }} | ||
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{{Merke| | {{Merke| | ||
| − | #Der Koeffizient von <math>x^2</math> auch negativ sein | + | #Der Koeffizient von <math>x^2</math> kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt. |
#Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm <math>ax^2 + c</math> }} | #Ist der Scheitel S(0/c) der Parabel auf der y-Achse, dann ist der zugehörige Funktionsterm <math>ax^2 + c</math> }} | ||
| − | Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion | + | Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion kann man dann mit der Funktionsgleichung <math> f(x) = a(x - d)^2 + e</math> schreiben, wobei a, d und e reelle Parameter sind. |
| − | + | Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben. | |
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{{Aufgabe| | {{Aufgabe| | ||
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# Was kannst du über die Parameter a, d, e in <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt? | # Was kannst du über die Parameter a, d, e in <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> aussagen, wenn der Scheitel der Parabel auf der y-Achse liegt? | ||
# Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet? | # Für welche Werte von a ist die Parabel nach unten geöffnet? | ||
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{{Lösung versteckt|1= | {{Lösung versteckt|1= | ||
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# d = 0 | # d = 0 | ||
# a < 0 | # a < 0 | ||
# a > 0 }} | # a > 0 }} | ||
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| + | Betrachte nun dieses Applet, in dem der Scheitel der Parabel mit eingezeichnet ist. Was fällt dir auf, wenn du den Funktionsterm und die Scheitelkoordinaten betrachtest? | ||
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| + | {{Aufgabe| | ||
| + | 1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest?<br> | ||
| + | 2. Gib die Koordinaten des Scheitels der Parabel der Köln-Arena an!}} | ||
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| + | {{Lösung versteckt|1= | ||
| + | 1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein. | ||
| + | 2. x = 4,85, y = 4,3 }} | ||
{{Merke|1= | {{Merke|1= | ||
| − | Aus dem Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> der quadratischen Funktion f mit <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen. Es ist x = d und y = e.}} | + | Aus dem Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> der quadratischen Funktion f mit <math> f(x) = a (x - d)^2 + e</math> kannst du die Koordinaten (x,y) des Scheitels sofort ablesen. <br> |
| + | Es ist x = d und y = e.<br> | ||
| + | Der Funktionsterm <math>a (x - d)^2 + e</math> ist die sogenannte '''Scheitelform der quadratischen Funktion'''.}} | ||
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| + | {{Aufgabe|1= | ||
| + | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
| + | Parameter gesucht! Je einer der Parameter a, d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird!<br> | ||
| + | Der Scheitel ändert sich nicht, falls <strong> a </strong> varriert wird. <br> | ||
| + | Variiert man <strong> d </strong>, so verändern sich der Scheitel und eventuell die Nullstellen, aber nicht die Wertemenge.<br> | ||
| + | Ändern sich die Wertemenge und Scheitel, dann wird <strong> e </strong> variiert. | ||
| + | </div>}} | ||
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| + | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
| + | Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt <strong> Parabel </strong>. Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur <strong> Normalparabel</strong>.<br> | ||
| + | Quadratische Funktionen mit <strong>d = 0</strong> liegen <strong>symmetrisch </strong> zur <strong>y-Achse</strong>.<br> | ||
| + | Der Punkt S (d;e) heißt <strong>Scheitel </strong>.<br> | ||
| + | Für a>0 gilt: Je <strong>größer </strong> a ist, desto steiler ist die Parabel. <br> | ||
| + | Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto <strong> weiter </strong> ist die Parabel. <br> | ||
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| + | [[Quadratische_Funktionen_2_Startseite|'''Startseite''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsweg|'''1. Bremsweg''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Bremsbeschleunigung|'''2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen1|'''3. Übungen 1''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Köln-Arena|'''4. Köln-Arena''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Einfluss_der_Parameter|'''5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen2|'''6. Übungen 2''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Allgemeine_quadratische_Funktion|'''7. Allgemeine quadratische Funktion''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Übungen3|'''8. Übungen 3''']] - [[Quadratische_Funktionen_2_-_Aufgaben|'''9. Aufgaben''']] | ||
Aktuelle Version vom 23. November 2016, 06:58 Uhr
Startseite - 1. Bremsweg - 2. Unterschiedliche Straßenverhältnisse - 3. Übungen 1 - 4. Köln-Arena - 5. Einfluss der Parameter in der Scheitelform -
6. Übungen 2 - 7. Allgemeine quadratische Funktion - 8. Übungen 3 - 9. Aufgaben
Die Köln-Arena
Die Köln-Arena wird von einem parabelförmigen Bogen überspannt. Parabeln kennst du als Graphen quadratischer Funktionen. Hier ist die Parabel allerdings nach unten geöffnet und der Scheitel der Parabel ist nicht im Ursprung sondern auf der positiven y-Achse. Eine quadratische Funktion mit so einem Graphen lässt sich durch die Funktionsgleichung 
beschreiben.
 Aufgabe
Finde mit Hilfe des Applets die Parameter a und c zur quadratischen Funktion |
 Merke
|
kann auch negativ sein. Der Graph ist dann eine nach unten geöffnete Parabel. In diesem Fall ist der Scheitel der höchste Punkt.
Liegt das Bild nicht so im Koordinatensystem, dass der Scheitel auf der y-Achse ist, so kann man trotzdem eine Parabel über den Bogen legen. Es ist ja immer noch das gleiche Bild. Die quadratische Funktion kann man dann mit der Funktionsgleichung 
schreiben, wobei a, d und e reelle Parameter sind.
Im folgenden Applet ist die quadratische Funktion in dieser Form gegeben.
| Aufgabe
Finde die Parameter a, d, e. |
Aufgabe
|
- d = 0
- a < 0
- a > 0
Betrachte nun dieses Applet, in dem der Scheitel der Parabel mit eingezeichnet ist. Was fällt dir auf, wenn du den Funktionsterm und die Scheitelkoordinaten betrachtest?
| Aufgabe
1. Was fällt dir auf, wenn du die Scheitelkoordinaten betrachtest? |
1. Die Scheitelkoordinaten stimmen mit den Werten von d und e überein.
2. x = 4,85, y = 4,3| Merke
Aus dem Funktionsterm |
der quadratischen Funktion f mit
| Aufgabe
Parameter gesucht! Je einer der Parameter a, d und e wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird! |
Die Graph der Funktion f mit f(x)=a(x - d)² + e heißt Parabel . Ist a = 1, so ist der Graph kongruent zur Normalparabel.
Quadratische Funktionen mit d = 0 liegen symmetrisch zur y-Achse.
Der Punkt S (d;e) heißt Scheitel .
Für a>0 gilt: Je größer a ist, desto steiler ist die Parabel.
Für a>0 gilt: Je kleiner a ist, desto weiter ist die Parabel.
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Als nächstes wollen wir untersuchen, welchen Einfluss die Parameter a, d und e in der Funktionsgleichung  auf den Graphen haben.
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