Wurzelfunktion allgemeine Wurzelfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Wuerfel.jpg|right]]
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[[Wurzelfunktion_Startseite|Startseite]] --- [[Wurzelfunktion_Einführung|Die Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_1|Übungen]] - [[Wurzelfunktion_Anwendungen|Anwendungen]] - [[Wurzelfunktionen_Eigenschaften|Weitere Eigenschaften]] --- [[Wurzelfunktion_allgemeine_Wurzelfunktion|Die allgemeine Wurzelfunktion]] - [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]] --- [[Wurzelfunktion_Umkehrfunktion|Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion]]
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__NOCACHE__
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[[Datei:Wuerfel.jpg|200px|right]]
  
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Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.
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<br><br>
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Ein Würfel mit der Seitenlänge <math>a</math> hat das Volumen <math> V = a^3</math>.
  
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Ist die Seitenlänge <math>a = 3 cm</math>, dann ist also das Volumen <math> V = 27 cm^3</math>.
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<br>Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen <math> V= 27 cm^3</math> die zugehörige Seitenlänge <math>a= 3 cm</math>.<br>
  
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Ein Würfel mit Seitenlänge a hat dasVolumen  <math> V = a^3</math>.
 
  
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Man weiß von einem Würfel, dass es das Volumen 27 VE hat. Wie lang ist dann die Seite? Natürlich 3 LE.
 
  
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Es ist
 
  
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<center><math> a = V^{\frac{1}{3}}</math></center>
 
  
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Man schreibt auch dafür
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{{Arbeiten|NUMMER=18| ARBEIT=
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Im folgenden Applet wird der Seitenlänge <math>a</math> eines Würfels das Volumen <math>V</math> zugeordnet. <br>Der Punkt P hat die Koordinaten (<math>a| V</math>). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für <math>a</math> einstellen.
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<center><math> a = \sqrt[3]{V}\</math></center>
+
<br>
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<center>
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<ggb_applet width="522" height="647"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /></center><br>
  
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a) Welches Volumen <math>V</math> ergibt sich für <math>a</math> = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!<br>
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b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge <math>a</math> das Volumen <math>V</math> eines Würfels zuordnet! <br>
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c) Welchen Wert nimmt <math>V</math> für <math>a</math> = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!<br>
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d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen <math>V</math> die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen <math>a</math> im Applet ab und ergänze deine Tabelle!
  
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}}
  
  
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Wie kannst du die Seitenlänge <math>a</math> bei gegebenem Volumen <math>V</math> berechnen?
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{{Lösung versteckt|
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<math> a = V^{\frac{1}{3}}</math>
  
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<math> a = \sqrt[3]{V}</math><br>
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}}
  
  
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{{Merksatz|MERK=
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{{Merke|  
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Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl x als Lösung<br>
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Die Gleichung <math> a = x^n</math> hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung<br>
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<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}\</math></center>
+
<center> <math> x = a^{\frac{1}{n}}</math> oder <math> x = \sqrt[n]{a}</math></center>
  
−
<math> \sqrt[n]{a}\</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
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<math> \sqrt[n]{a}</math> heißt die''' n-te Wurzel aus a'''.
 
}}
 
}}
  
  
  
−
{{Aufgabe|a) Setze verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein, und berechne welche Werte
+
{{Arbeiten|NUMMER=19| ARBEIT=
−
sich für die Seitenlänge a ergeben. Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein.
+
a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte
 +
sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
 +
<br>b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (<math>V</math> entspricht der x-Achse, <math>a</math> entspricht der y-Achse)!}}
  
−
b) Erstelle ein V-a-Diagramm (V nach rechts, a nach oben antragen!)}}
 
  
−
{{Lösung versteckt|
+
{{Merke|  
−
Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
+
Allgemein ist für jede natürliche Zahl <math>n</math> die allgemeine Wurzelfunktion <math>n</math>-ten Grades oder <math>n</math>-te Wurzelfunktion definiert mit
−
a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
+
<br>
−
b) [[Datei:Wuerfel_V-a-graph.jpg]]<br>
+
<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
−
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:
+
}}
−
[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
+
  
  
 +
{{Arbeiten|NUMMER=20|
 +
ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!}}
  
−
{{Merksatz|MERK=
 
−
Man definiert für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion
 
  
−
<math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math> mit <math> x \in R^+_0</math> und <math>n \in N</math>.
+
{{Arbeiten|NUMMER=21|
 +
ARBEIT=
 +
# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}</math>
 +
# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
 
}}
 
}}
  
  
−
{{Arbeiten|NUMMER=1|
 
−
ARBEIT= Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion an.}}
 
  
−
{{Lösung versteckt|
+
Aufgabe 18: {{Lösung versteckt|
−
<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>V \in R^+_0</math>
+
a) 1, 3,375; 8; 15,625<br>
 +
b) <math>V = a^3</math><br>
 +
c) 27; 125; 1000; 3375<br>
 +
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6
 
}}
 
}}
  
 +
Aufgabe 19: {{Lösung versteckt|
 +
Dein Ergebnis kann so aussehen.<br>
 +
a) [[Datei:Wuerfel_V-a-Tabelle.jpg]]<br>
 +
b) [[Datei:Wuerfel_V-a-graph.jpg]]<br>
 +
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:
 +
[[Datei:Wuerfel_V-a-graph_2.jpg]] }}
  
 +
Aufgabe 20: {{Lösung versteckt|
 +
<math>f:V \rightarrow \sqrt[3]{V}</math> mit <math>D = R^+_0</math>}}
  
−
{{Arbeiten|NUMMER=2|
+
Aufgabe 21: {{Lösung versteckt|
−
ARBEIT=
+
−
# Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion <math> f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}\</math>
+
−
# Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?
+
−
}}
+
−
 
+
−
{{Lösung versteckt|
+
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
 
1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.
−
<ggb_applet width="713" height="271"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+
<ggb_applet width="706" height="322"  version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIANw+pUAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACADcPqVAAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbL1XW2/bNhR+bn/FgZ42oLFJ6mYXdou1Q7EAaTcg3TDsYQAt0TYbiRREypeiP36HpGTLSRtk6DAjNkXx4/nOnczi9aGuYCdaI7VaRnRCIhCq0KVUm2XU2fXVLHr96vliI/RGrFoOa93W3C6jxCFliVvSPElyFl8l+by4SgqeXHGRl1drmjMeMy5mjEcAByNfKv2B18I0vBC3xVbU/EYX3HrirbXNy+l0v99PBqqJbjfTzWY1OZgyAlRTmWXUP7xEcReb9rGHM0Lo9M/3N0H8lVTGclWICJwJnXz1/NliL1Wp97CXpd0uo5wmEWyF3GydTSnaNHWgBh3SiMLKnTC4dTT1Ntu6iTyMK7f+LDxBdTInglLuZCnaZUQmbEYoZSRJZjSfs5xFoFsplO2xtOecDtIWOyn2Qax78oyopdW6WnEnEb58AUYYgRduoGFgOGRZWCLhHYnDwMKQhCENmCRsTwI0CZgkYJI4gp00clWJZbTmlUEPSrVuMXqnubHHSnh9+hdn6+kLtMnIzwiOCbo0uBzfE/LCfTP8JqT39chIOmK1bfcvSQfKnGRPp2TfZWg8cLKvmcnSb5iZPUIa7H6KnTQdcSKV//PfB4zxY2beZwzz7yPMkv/FxMV0KJVFXx1gtg7bZ48VtXH1Es8hnbu0p5BibWQ5ZnkKdI5DzgCrAWgKSYpTOoPMjTnEOS4kEMMMHI7G4IsjneFPknthGaQozL3NsSaBIlECaQzU11QCWEng6xJrlMWISFNIcZOjp8yJiDNIMpzFM0hQR1eSOUVgjBtxjvQMYgqx20xzYBlkTh5NXKlnM6c6imSQEcioE4hVjRUdqhnxM4idNVnvLqmazl64qKjL4dHq5hQLRGM/One90J8umuKzRcVXosJz4tZFEmDHK1cRnmitlYUhiCy827S82crC3AprcZeBT3zHb7gVh3eINgO3xxZamd9abd/qqquVASh0RU4664qOntlJa5zEo4VkvJCOFrLRc/5VXo0r0BmB/Lo1A5yX5bVDnFsDevJXVR3ftILfNVpemrGY+iNnIbqikqXk6g9MVsfi/AKnE8i1q+EEYvNkUES35e3RYAbD4S/Ratc2YnfmHsOMUTIh4w9KMQV39ZbMJ/PxZ4ab+qX03qY+NGJ3Cgo/iJO9m1aW4+dr80ZX5cl6b/Bb3tiu9bcF7IatM+MntamETwrfX/EoLu5W+nAbsiEOsj4eG5yRwL/aeEcDNgOWpgjox1UYPcYpdkIRjyEeQYb0kuVpnc6ZR/hxFUaPwnwNqvWG0sFKSgYaaXwLI9FFofhkX0aHCDol7U2YYdHI4q43lYYNH7p6Jc454wA/y3ANCferSxr6VZrjf0KzmN5LvcWdaJWo+kzHgHe6M6FwR0VQikLWOA0LveO4C+rvqFN4W4pNK3o8r/x9LbjVr5JxEj947UW9a3V9rXYfMWPuKbCYDlouTNHKxuUlrPB0uBPn3Cul4Xi4lON9rjTRG4U7RNAh1nkLi7azW936Kxn2GhxdRVaixgsYWJ+EqqtFK4uT85W/26FSXa93PETNOR706hM2wXsB8xOPweVvpCnwqtlydyOkfTLyo2gvXOOlvddlT9zjTOWuklDLcDbW/ODzFfjKYH+0eJnGWKjzZTpo1vcXvIm4tnFwdzHfP0IXiGAtDyOHoo/kZ8wJfmHMuVwstu47vJ8aX9O2r17/8IssS6FO2nKF2eNjgN2rCQnbCBFy/bSxQeN91xjFvQ+LD2Vdc1WC8heGd53yQY3OZxjH0+Dw9w8UpqB+RE/Q4GA8C67VWmKaHvtodHaArwNJL/pBFqwHkiGk6+jxkI8q5mHMaRo/iDp5YtTJI76PH/P92IPTcTX4s6j/t+rVP1BLBwg+GSn0dgUAAPMNAABQSwECFAAUAAgACADcPqVARczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIANw+pUA+GSn0dgUAAPMNAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAADgYAAAAA" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br>
−
2. (0;0 und (1;1)
+
−
}}
+
  
−
 
+
<br>2. (0;0 und (1;1)
−
{{Arbeiten|NUMMER=3|
+
−
ARBEIT=
+
−
Betrachte nun die Wurzelfunktionen im folgenden Applet:<br>
+
−
Variiere mit dem Schieberegler n.
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# Was ist der Unterschied zu Aufgabe 2?
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# Wieso ist dies möglich?
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{{Lösung versteckt|
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Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit [[Wurzelfunktion_Übungen_2|Übungen und Anwendungen]].
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# Für ungerade n ist der Funktionsgraph auch für negative x gezeichnet.
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# Es ist <math>(-3)^3=(-3)(-3)(-3)=-27</math> und damit <math>\sqrt[3]{-27}\ = -3</math> oder allgemein <math> (-a)^3=-a^3</math> und damit <math>\sqrt[3]{-a^3}\ = -a </math>, also ist bei ungeraden Exponenten n auch die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl erklärt.  
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Aktuelle Version vom 16. April 2017, 09:31 Uhr

Startseite --- Die Wurzelfunktion - Übungen - Anwendungen - Weitere Eigenschaften --- Die allgemeine Wurzelfunktion - Übungen und Anwendungen --- Die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Wuerfel.jpg

Bei den folgenden Aufgaben bearbeitest du den Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Würfels und seiner Seitenlänge.

Ein Würfel mit der Seitenlänge a hat das Volumen V = a^3.

Ist die Seitenlänge a = 3 cm, dann ist also das Volumen V = 27 cm^3.
Umgekehrt ist dann für einen Würfel mit Volumen V= 27 cm^3 die zugehörige Seitenlänge a= 3 cm.



  Aufgabe 18  Stift.gif

Im folgenden Applet wird der Seitenlänge a eines Würfels das Volumen V zugeordnet.
Der Punkt P hat die Koordinaten (a| V). Mit dem Schieberegler kannst du verschiedene Werte für a einstellen.


a) Welches Volumen V ergibt sich für a = 1; 1,5; 2; 2,5? Halte deine Ergebnisse in Form einer Tabelle fest!
b) Gib eine Funktionsgleichung an, die der Seitenlänge a das Volumen V eines Würfels zuordnet!
c) Welchen Wert nimmt V für a = 3; 5; 10; 15 an? Verwende dazu deine Funktionsgleichung!
d) Stelle mit dem Schieberegler für das Volumen V die Werte ein 1,728; 2,744; 3,375; 4,096; 4,913; 9,261; 15,625; 17,576. Lies die dazugehörigen Seitenlängen a im Applet ab und ergänze deine Tabelle!


Wie kannst du die Seitenlänge a bei gegebenem Volumen V berechnen?

a = V^{\frac{1}{3}}

a = \sqrt[3]{V}


Nuvola apps kig.png   Merke

Die Gleichung a = x^n hat für jede natürliche Zahl n und jede nicht negative reelle Zahl a als Lösung

x = a^{\frac{1}{n}} oder x = \sqrt[n]{a}

\sqrt[n]{a} heißt die n-te Wurzel aus a.


  Aufgabe 19  Stift.gif

a) Setze in deine Formel verschiedene Werte für das Würfelvolumen V ein und berechne welche Werte sich für die Seitenlänge a ergeben! Trage die Ergebnisse in eine Wertetabelle ein!
b) Stelle deine Wertepaare im Koordinatensystem dar (V entspricht der x-Achse, a entspricht der y-Achse)!


Nuvola apps kig.png   Merke

Allgemein ist für jede natürliche Zahl n die allgemeine Wurzelfunktion n-ten Grades oder n-te Wurzelfunktion definiert mit
f: x \rightarrow \sqrt[n]{x} mit x \in R^+_0 und n \in N.


  Aufgabe 20  Stift.gif

Gib für die Würfelaufgabe die zugehörige Funktion mit Definitionsmenge an!


  Aufgabe 21  Stift.gif
  1. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 die Graphen der n-ten Wurzelfunktion f: x \rightarrow \sqrt[n]{x}
  2. Welche Punkte haben alle Graphen gemeinsam?



Aufgabe 18:

a) 1, 3,375; 8; 15,625
b) V = a^3
c) 27; 125; 1000; 3375
c) 1,2; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 2,1; 2,5; 2,6

Aufgabe 19:

Dein Ergebnis kann so aussehen.
a) Wuerfel V-a-Tabelle.jpg
b) Wuerfel V-a-graph.jpg
Verbindet man die Punkte, dann erhält man diesen Graphen:

Wuerfel V-a-graph 2.jpg

Aufgabe 20:

f:V \rightarrow \sqrt[3]{V} mit D = R^+_0

Aufgabe 21:

1. Stelle mit dem Schieberegler die passende Wurzelfunktion ein.



2. (0;0 und (1;1)

Du hast nun die allgemeine Wurzelfunktion kennengelernt. Es geht weiter mit Übungen und Anwendungen.

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